Relaciones trigonométricas para un mismo ángulo

Utilizando la siguiente relación, podemos encontrar el coseno de dicho ángulo: $$1+\tan^2(\alpha)=\dfrac{1}{\cos^2(\alpha)} \Rightarrow \cos^2(\alpha)=\dfrac{1}{1+\tan^2(\alpha)}$$ Sustituyendo en nuestro caso, obtenemos: $$\cos^2(\alpha)=\dfrac{1}{1+\tan^2(\alpha)}=\dfrac{1}{1+2^2}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \cos(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$

A partir de la siguiente relación tenemos $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \Rightarrow \sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$$ Sustituyendo en nuestro caso: $$\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-1}{5}=\dfrac{4}{5} \Rightarrow \sin(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$ Teniendo en cuenta que $0 < \alpha < 90^\circ$, el coseno y el seno toman valores positivos. Por lo tanto la solución correcta resulta de tomar las determinaciones positivas.