Sistemes d'equacions logarítmiques

a) Les dues equacions del sistema són logarítmiques, de manera que s'aplicarà el mètode d'eliminació.

En aquest sentit, es pot multiplicar la segona equació per $3$ i després sumar-la a la primera, amb la qual cosa s'aconsegueix eliminar $y$: $$3\cdot[\log x+\log y=3] \Rightarrow 3\log x+3\log y=9$$ $$ + \left[\begin{array}{r} 2\log x-3\log y = 1 \\ \underline{3\log x+3\log y =9} \\ 5\log x+0 =10 \end{array}\right]$$ S'opera l'equació resultant per trobar el valor de $x$: $$5\log x=10 \Rightarrow \log x=\dfrac{10}{5}=2 \Rightarrow x=10^2=100$$ Un cop trobat el valor de $x$ es substitueix en la primera equació per trobar el de $y$: $$2\log 100-3\log y=1 \Rightarrow 2\cdot2-3\log y=1 \Rightarrow 4-3\log y=1 \Rightarrow -3\log y=1-4 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow -3\log y=-3 \Rightarrow \log y=\dfrac{-3}{-3}=1 \Rightarrow y=10^1=10$$

b) En el segon cas hi ha una de les equacions que no és logarítmica, així que s'aplicarà el mètode de substitució. Però primer cal desfer-se dels logaritmes de la primera equació: $$\log x + \log y =\log 100- \log 10 \Rightarrow \log xy=\log\dfrac{100}{10} \Rightarrow xy=10$$ L'equació obtinguda és equivalent a la logarítmica, de manera que es fa el canvi en el sistema:

$$\left . \begin{array}{rcl} xy &=&10 \\ x+y &=&7\end{array}\right \} $$

Si s'aïlla $x$ de la primera equació s'obté: $$xy=10 \Rightarrow x=\dfrac{10}{y}$$ Ara aquesta expressió es pot substituir en la segona equació: $$x+y=7 \Rightarrow \dfrac{10}{y}+y=7 \Rightarrow \dfrac{10+y^2}{y}=7 \Rightarrow 10+y^2=7y \Rightarrow y^2-7y+10=0$$ S'ha obtingut una equació de segon grau amb les solucions: $$y=\dfrac{7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{7\pm3}{2}$$ $$y=\dfrac{7+3}{2}=\dfrac{10}{2}=5 \\ y=\dfrac{7-3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$ Ambdues solucions són possibles en l'equació logarítmica, perquè tant el $\log 5$ com el $\log 2$ existeixen. Així que caldrà buscar per a cada valor de $y$ quin és el que li correspon de $x$.

Per a això es substitueixen els dos valors de $y$ en la segona equació:

Quan $y=5$: $$x=7-y \Rightarrow x=7-5=2$$

Quan $y=2$: $$x=7-y \Rightarrow x=7-2=5$$