Sistemes d'equacions logarítmiques

En un sistema de dues equacions logarítmiques amb dues incògnites el mètode més útil per trobar la solució és, sovint, el de reducció o eliminació, ambdós emprats per resoldre sistemes d'equacions lineals.

$$\left .\begin{array}{rcl} \log x+\log y &=& 3\\ \log x - \log y &=& 1 \end{array} \right \}$$ Al sumar les dues equacions s'elimina ràpidament una incògnita ($\log y$), de manera que tenim una equació on $x$ és l'única variable.

Sabem resoldre equacions on la variable $x$ és dins del logaritme, per tant resolem $x$: $$ + \left.\begin{array}{r} \log x+\log y = 3 \\ \underline{\log x-\log y =1} \\ 2 \log x+0 =4 \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \log x=4 \Rightarrow \log x^2=4 \Rightarrow x^2=10^4 \Rightarrow x= 10^2=100$$ Un cop conegut el valor de $x$ substituim a la primera equació de manera que ara només tindrà una incògnita, $\log y$.

Novament, sabem com resoldre aquesta equació i per tant per resoldre $y$ tenim: $$\log x +\log y =3 \Rightarrow \log 100 +\log y =3 \Rightarrow 2 +\log y=3 \Rightarrow \log y=1 \Rightarrow y=10^1=10 $$ De manera que la solució al sistema és: $x=100$ i $y=10$.

En els sistemes d'equacions logarítmiques també cal comprovar que les solucions siguin possibles, encara que en aquest cas ho són sense necessitat de comprovar-ho directament.

Hi ha un altre tipus de sistemes d'equacions logarítmiques en què només una de les equacions és logarítmica, mentre que l'altra és una equació amb dues incògnites normal i corrent.

En aquestes situacions el més recomanable és intentar desfer-se dels logaritmes i aplicar el mètode més pràctic per resoldre cada cas.

El següent sistema consta d'una equació logarítmica i una altra de lineal: $$\left . \begin{array}{rcl} \log x - \log y &=& 1 \\ x+ 2y &=& 24 \end{array}\right \}$$ El primer que cal fer és desfer-se dels logaritmes. Per això s'aplica la propietat segons la qual la diferència de logaritmes és el logaritme del quocient i per tant tenim: $$\log x- \log y = 1 \Rightarrow \displaystyle \log \frac{x}{y}=1 \Rightarrow \frac{x}{y}=10$$

L'equació resultant és equivalent a la inicial, de manera que es pot substituir en el sistema, que llavors quedarà: $$\left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x}{y}=10 \\ x+2y=24 \end{array}\right \}$$

Es tracta d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Per resoldre s'aplicarà el mètode de substitució, ja que és fàcil aïllar $x$ de la primera equació: $$x=10y$$

Ara se substitueix aquesta expressió en la segona equació i es resol: $$\displaystyle x+2y=24 \Rightarrow 10y+2y=24 \Rightarrow 12y=24 \Rightarrow y=\frac{24}{12}=2$$ Un cop conegut el valor de $y$ el posem altre cop a la primera equació per obtenir el valor de $x$: $$x=10y \Rightarrow x=10\cdot 2=20 $$

La solució del sistema és, per tant, $x=20$ i $y=2$, i és completament vàlida ja que tots dos són nombres positius.

$$\left. \begin{array}{rcl} \log x +\log y &=& 2\\ x-y&=& 21 \end{array}\right \}$$ Com en el cas anterior, el més senzill és desfer-se dels logaritmes i operar amb equacions lineals. De manera que cal aplicar la propietat de la suma de logaritmes a la primera equació: $$\log x +\log y =2 \Rightarrow \log(x\cdot y)=2 \Rightarrow xy=10^2 \Rightarrow xy=100 $$

L'equació obtinguda és equivalent a la logarítmica, de manera que tenim un sistema lineal equivalent: $$\left. \begin{array}{rcl}xy=100 \\ x-y=21 \end{array}\right \}$$ S'aplica el mètode de substitució per expressar $x$ en funció de $y$ en la segona equació: $$x=21+y$$ I ara se substitueix l'expressió en la primera equació, obtenint una equació de segon grau amb la $y$: $$xy=100 \Rightarrow (21+y)y=100 \Rightarrow 21y+y^2=100 \Rightarrow y^2+21 y-100=0$$

Podem resoldre-la aplicant la fórmula: $$\displaystyle y=\frac{-21 \pm \sqrt{21^2-4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}=\frac{-21 \pm \sqrt{441+400}}{2}=\frac{-21 \pm \sqrt{841}}{2}=\frac{-21 \pm 29}{2}$$

De manera que els valors possibles per $y$ són: $$\begin{array}{rcl} y&=& \displaystyle \frac{-21+29}{2}={8}{2}=4 \\ y&=& \frac{-21-29}{2}=\frac{-50}{2}=-25\end{array}$$

Cal comprovar si les solucions són vàlides o no donat que el logaritme no accepta valors negatius. Així, si $y=-25$ la primera equació queda: $$\log x +\log (-25)=2$$ I el $\log (-25)$ no existeix.

D'altra banda, si considerem $y=4$, obtenim una solució vàlida. Farem servir aquest resultat per trobar el valor de $x$, substituint en la segona equació del sistema: $$x=21+y \Rightarrow x=21+4=25$$

Encara ens cal comprovar que és un valor vàlid per la $x$. Però com que és un valor positiu no suposa cap problema i per tant la solució del sistema és $x=25$ i $y=4$.