Sistemas de ecuaciones logarítmicas

a) Las dos ecuaciones del sistema son logarítmicas, de modo que se aplicará el método de eliminación.

En este sentido, se puede multiplicar la segunda ecuación por $3$ y luego sumarla a la primera, con lo que se consigue eliminar $y$: $$3\cdot[\log x+\log y=3] \Rightarrow 3\log x+3\log y=9$$ $$ + \left[\begin{array}{r} 2\log x-3\log y = 1 \\ \underline{3\log x+3\log y =9} \\ 5\log x+0 =10 \end{array}\right]$$ Se opera la ecuación resultante para hallar el valor de $x$: $$5\log x=10 \Rightarrow \log x=\dfrac{10}{5}=2 \Rightarrow x=10^2=100$$ Una vez hallado el valor de $x$ se sustituye en la primera ecuación para hallar el de $y$: $$2\log 100-3\log y=1 \Rightarrow 2\cdot2-3\log y=1 \Rightarrow 4-3\log y=1 \Rightarrow -3\log y=1-4 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow -3\log y=-3 \Rightarrow \log y=\dfrac{-3}{-3}=1 \Rightarrow y=10^1=10$$

b) En el segundo caso hay una de las ecuaciones que no es logarítmica, así que se aplicará el método de sustitución. Pero primero hay deshacerse de los logaritmos de la primera ecuación: $$\log x + \log y =\log 100- \log 10 \Rightarrow \log xy=\log\dfrac{100}{10} \Rightarrow xy=10$$ La ecuación obtenida es equivalente a la logarítmica, así que se hace el cambio en el sistema:

$$\left . \begin{array}{rcl} xy &=&10 \\ x+y &=&7\end{array}\right \} $$

Si se despeja $x$ de la primera ecuación se obtiene: $$xy=10 \Rightarrow x=\dfrac{10}{y}$$ Ahora esta expresión se puede sustituir en la segunda ecuación: $$x+y=7 \Rightarrow \dfrac{10}{y}+y=7 \Rightarrow \dfrac{10+y^2}{y}=7 \Rightarrow 10+y^2=7y \Rightarrow y^2-7y+10=0$$ Se ha obtenido una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: $$y=\dfrac{7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{7\pm3}{2}$$ $$y=\dfrac{7+3}{2}=\dfrac{10}{2}=5 \\ y=\dfrac{7-3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$ Ambas soluciones son posibles en la ecuación logarítmica, porque tanto el $\log 5$ como el $\log 2$ existen. Así que habrá que buscar para cada valor de $y$ cuál es el que le corresponde de $x$.

Para ello se sustituyen los dos valores de $y$ en la segunda ecuación:

Cuando $y=5$: $$x=7-y \Rightarrow x=7-5=2$$

Cuando $y=2$: $$x=7-y \Rightarrow x=7-2=5$$