Equacions logarítmiques de segon grau

a) En el primer cas, cal recórrer a la propietat de les potències dels logaritmes per operar en el primer membre: $$2\log (x+5)=\log(21-3x^2) \Rightarrow \log (x+5)^2=\log(21-3x^2)$$ En aquest punt ja es poden eliminar els logaritmes, de manera que s'obté una equació de segon grau completa que cal resoldre: $$(x+5)^2=21-3x^2 \Rightarrow x^2+10x+25=21-3x^2 \Rightarrow x^2+3x^2+10x+25-21=0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2+10x+4=0$$ Per trobar $x$ cal aplicar la fórmula: $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot4\cdot4}}{2\cdot4}=\dfrac{-10\pm\sqrt{36}}{8}=\dfrac{-10\pm6}{8}$$ De manera que les solucions a l'equació seran: $$x=\dfrac{-10+6}{8}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{4} \\ x=\dfrac{-10-6}{8}=\dfrac{-16}{8}=-2$$ Ara cal comprovar que realment els valors trobats són solució de l'equació logarítmica. Per això les expressions entre parèntesis hauran de ser positives: Si $x =-\dfrac{1}{4}$: $$(x+5)^2 \Rightarrow \Big(-\dfrac{1}{4}+5\Big)^2 >0$$ $$(21-3x^2) \Rightarrow \Big(21-3\cdot\Big(-\dfrac{1}{4}\Big)^2\Big) \Rightarrow \Big(21-3\cdot\Big(\dfrac{1}{16}\Big)\Big) \Rightarrow \Big(21-\dfrac{3}{16}\Big) >0$$ De manera que $x =-\dfrac{1}{4}$ és solució de l'equació.

Si $x=-2$: $$(x+5)^2 \Rightarrow \Big(-2+5\Big)^2 >0$$ $$(21-3x^2) \Rightarrow (21-3\cdot(-2)^2) \Rightarrow (21-3\cdot4) \Rightarrow (21-12)=9 >0$$ Pel que $x=-2$ també és solució de l'equació.

b) En el segon cas es segueixen passos similars al primer: $$\log(17-4x)=2\log(2x-1) \Rightarrow \log(17-4x)=\log(2x-1)^2$$ Amb el que es poden treure els logaritmes i treballar amb l'equació de segon grau $$17-4x=(2x-1)^2 \Rightarrow 17-4x=4x^2-4x+1 \Rightarrow 4x^2-4x+4x+1-17=0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2-16=0$$ S'obté una equació de segon grau incompleta que cal resoldre $$4x^2=16 \Rightarrow x^2=\dfrac{16}{4} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm2$$

Perquè els valors trobats siguin solució de l'equació logarítmica el primer binomi haurà de ser major que $0$:

Per $x=2$: $$17-4x \Rightarrow 17-4\cdot2=17-8=9 > 0$$ Pel que $x=2$ és solució de l'equació.

Per $x=-2$: $$17-4x \Rightarrow 17-4\cdot(-2)=17+8=25 > 0$$ De manera que $x=-2$ també és solució de l'equació.

c) En l'últim cas cal aplicar algunes de les propietats dels logaritmes per desfer-se'n i aconseguir una equació de segon grau equivalent: $$\log x+\log 3=\dfrac{\log 4}{2\log x} \Rightarrow \log 3x=\dfrac{\log 4}{\log x^2} \Rightarrow \log 3x=\log(4-x^2)$$ En aquest punt es pot prescindir dels logaritmes i treballar amb l'equació de segon grau completa: $$3x=4-x^2 \Rightarrow -x^2-3x+4=0$$ De manera que: $$x=\dfrac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{-2}=\dfrac{3\pm5}{-2}$$ Pel que les possibles solucions seran: $$x=\dfrac{3+5}{-2}=-\dfrac{8}{2}=-4 \\ x=\dfrac{3-5}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1$$ Ara només queda comprovar si ambdues són solucions de l'equació logarítmica, però ja es veu de seguida que $x =- 4$ no pot ser solució, ja que en substituir el valor en la incògnita del primer membre de l'equació s'obté: $$\log x \Rightarrow \log(-4)$$ Que no existeix, ja que no hi ha logaritmes de nombres negatius. De manera que l'equació logarítmica té una única solució, que és $x=1$.