Equacions logarítmiques de segon grau

Quan es tracta d'equacions logarítmiques de segon grau l'objectiu principal és desfer-se dels logaritmes i obtenir una equació de segon grau equivalent.

$$\log(x^2+2x)-\log 8=0$$ Si es passa el terme independent al segon membre es podran eliminar els logaritmes, de manera que s'obté una equació de segon grau completa: $$\log(x^2+2x)=\log 8 \Rightarrow x^2+2x=8 \Rightarrow x^2+2x-8=0$$ Per resoldre-la cal recordar la fórmula: $$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ De manera que: $$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4\cdot (-8)}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$ Per tant, les solucions de l'equació seran: $$\displaystyle x=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ \displaystyle x=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$

Però és necessari tenir en compte que que algunes de les solucions no seran vàlides per a una equació logarítmica, ja que només existeix el logaritme de nombres més grans que $0$. De manera que cal comprovar, substituint $x$, si obtenim valors negatius. Comprovem-los:

Quan $x=2$ $$x^2+2x \Rightarrow 2^2+2 \cdot 2=4+4=16 >0$$ Després, la solució és vàlida.

Per $x =-4$ $$x^2+2x \Rightarrow (-4)^2+2 \cdot (-4)=16-8=8 >0$$ Per tant, aquesta solució també és vàlida.

En el cas anterior, l'equació equivalent a la logarítmica era de segon grau completa. Però també és possible que una equació logarítmica derivi en una equació de segon grau incompleta.

$$\log(9-x^2)=2\log(3x-3)$$ Per la propietat del logaritme de la potència es pot operar el segon membre de manera que: $$\log(9-x^2)=\log(3x-3)^2$$ Amb el que es poden eliminar els logaritmes i treballar directament amb l'equació de segon grau resultant: $$9-x^2=(3x-3)^2 \Rightarrow 9-x^2=9x^2-18x+9 \Rightarrow 9x^2+x^2-18x+9-9=0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 10x^2-18x=0$$ Veiem que podem simplificar l'equació i ens quedem sense consant. Llavors podem treure factor comú $x$ i obtenim: $$x(10x-18)=0$$ Amb el que: $$\begin{array}{l}x=0\\ \\ 10x-18=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{18}{10}\Rightarrow x=\frac{9}{5} \end{array}$$

Per comprovar que ambdues solucions ho són també de l'equació logarítmica caldrà substituir els valors trobats en les expressions entre parèntesis:

Quan $x=0$ $$9-x^2 \Rightarrow 9-0=9>0$$ i $$(3x-3)^2 \Rightarrow (3\cdot 0-3)^2= 9>0$$ Pel que $x=0$ és solució de l'equació logarítmica.

Quan $x =\displaystyle \frac{9}{5}$ $$\displaystyle 9-x^2\Rightarrow 9-\Big( \frac{9}{5}\Big)^2=9-\frac{81}{25}>0$$ i $$\displaystyle (3x-3)^2 \Rightarrow \Big(3\cdot \frac{9}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27-5}{5}\Big)^2=\frac{12^2}{5^2}>0$$ Per tant, també és una solució vàlida.

Vegem un últim exemple abans de passar als exercicis:

$$\displaystyle \log \sqrt{2x}=\log (x-3)+\log 2$$ Com en els casos anteriors, s'ha d'intentar desfer-se dels logaritmes.

Per això s'aplica la propietat en que la suma dels logaritmes és el logaritme del producte: $$\displaystyle \log\sqrt{2x}=\log (2 \cdot (x-3))$$ Amb el que es poden eliminar els logaritmes i treballar amb l'equació equivalent: $$\displaystyle \sqrt{2x}=2 \cdot (x-3) \Rightarrow \sqrt{2x}=2x-6$$ Ara cal desfer-se del radical. Per aconseguir-ho elevem al quadrat els termes de cada costat i observem que obtenim una equació de segon grau: $$2x=(2x-6)^2$$ S'opera el segon membre i s'organitzen els termes per tenir l'equació completa: $$2x=4x^2-24x+36 \Rightarrow 4x^2-24x-2x+36=0 \Rightarrow 4x-26x+36=0$$

Tots els termes de l'equació resultant es poden dividir entre $2$ de manera que s'obté una equació equivalent una mica més senzilla: $$\displaystyle \frac{4x^2-26x+36}{2}=0 \Rightarrow 2x^2-13x+18=0$$

En aquest punt s'aplica la fórmula per trobar $x$: $$\displaystyle x=\frac{13 \pm \sqrt{13^2-4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{4}=\frac{13 \pm \sqrt{25}}{4}=\frac{13 \pm 5}{4}$$

Amb la qual cosa les solucions possibles seran: $$\begin{array}{rcl}x & = &\displaystyle \frac{13+5}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ x&=&\frac{13-5}{4}=\frac{8}{4}=2\end{array}$$

Ara cal comprovar que realment els valors trobats són solució de l'equació logarítmica, ja que no es poden donar valors negatius al logaritme. Comprovem les solucions:

Si $x =\displaystyle \frac{9}{2}$: $$x-3 \Rightarrow \frac{9}{2} -3 =\frac{9-6}{2}=\frac{3}{2} >0$$ Per tant, el primer valor és solució de l'equació logarítmica.

Si $x=2$: $$x-3 \Rightarrow 2-3=-1 < 0$$ Veiem que obtenim un nombre negatiu i per tant hem de descartar aquesta solució.

L'equació proposta té, per tant, una única solució: $x=\displaystyle \frac{9}{2}$.