Ecuaciones logarítmicas de segundo grado

a) En el primer caso, hay que recurrir a la propiedad de las potencias de los logaritmos para operar en el primer miembro: $$2\log (x+5)=\log(21-3x^2) \Rightarrow \log (x+5)^2=\log(21-3x^2)$$ En este punto ya se pueden eliminar los logaritmos, con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado completa que hay que resolver: $$(x+5)^2=21-3x^2 \Rightarrow x^2+10x+25=21-3x^2 \Rightarrow x^2+3x^2+10x+25-21=0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2+10x+4=0$$ Para hallar $x$ hay que aplicar la fórmula: $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot4\cdot4}}{2\cdot4}=\dfrac{-10\pm\sqrt{36}}{8}=\dfrac{-10\pm6}{8}$$ De modo que las soluciones a la ecuación serán: $$x=\dfrac{-10+6}{8}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{4} \\ x=\dfrac{-10-6}{8}=\dfrac{-16}{8}=-2$$ Ahora hay que comprobar que realmente los valores hallados son solución de la ecuación logarítmica. Para ello las expresiones entre paréntesis deberán de ser positivas: Si $x =-\dfrac{1}{4}$: $$(x+5)^2 \Rightarrow \Big(-\dfrac{1}{4}+5\Big)^2 >0$$ $$(21-3x^2) \Rightarrow \Big(21-3\cdot\Big(-\dfrac{1}{4}\Big)^2\Big) \Rightarrow \Big(21-3\cdot\Big(\dfrac{1}{16}\Big)\Big) \Rightarrow \Big(21-\dfrac{3}{16}\Big) >0$$ De modo que $x =-\dfrac{1}{4}$ es solución de la ecuación.

Si $x=-2$: $$(x+5)^2 \Rightarrow \Big(-2+5\Big)^2 >0$$ $$(21-3x^2) \Rightarrow (21-3\cdot(-2)^2) \Rightarrow (21-3\cdot4) \Rightarrow (21-12)=9 >0$$ Por lo que $x=-2$ también es solución de la ecuación.

b) En el segundo caso se siguen pasos similares al primero: $$\log(17-4x)=2\log(2x-1) \Rightarrow \log(17-4x)=\log(2x-1)^2$$ Con lo que se pueden quitar los logaritmos y trabajar con la ecuación de segundo grado $$17-4x=(2x-1)^2 \Rightarrow 17-4x=4x^2-4x+1 \Rightarrow 4x^2-4x+4x+1-17=0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2-16=0$$ Se obtiene una ecuación de segundo grado incompleta que hay que resolver $$4x^2=16 \Rightarrow x^2=\dfrac{16}{4} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm2$$

Para que los valores hallados sean solución de la ecuación logarítmica el primer binomio deberá ser mayor que $0$:

Para $x=2$: $$17-4x \Rightarrow 17-4\cdot2=17-8=9 > 0$$ Por lo que $x=2$ es solución de la ecuación.

Para $x=-2$: $$17-4x \Rightarrow 17-4\cdot(-2)=17+8=25 > 0$$ De modo que $x=-2$ también es solución de la ecuación.

c) En el último caso hay que aplicar varias de las propiedades de los logaritmos para deshacerse de ellos y conseguir una ecuación de segundo grado equivalente: $$\log x+\log 3=\dfrac{\log 4}{2\log x} \Rightarrow \log 3x=\dfrac{\log 4}{\log x^2} \Rightarrow \log 3x=\log(4-x^2)$$ En este punto se puede prescindir de los logaritmos y trabajar con la ecuación de segundo grado completa: $$3x=4-x^2 \Rightarrow -x^2-3x+4=0$$ De manera que: $$x=\dfrac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{-2}=\dfrac{3\pm5}{-2}$$ Por lo que las posibles soluciones serán: $$x=\dfrac{3+5}{-2}=-\dfrac{8}{2}=-4 \\ x=\dfrac{3-5}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1$$ Ahora sólo queda comprobar si ambas son soluciones de la ecuación logarítmica, pero ya se ve enseguida que $x=-4$ no puede ser solución, puesto que al sustituir el valor en la incógnita del primer miembro de la ecuación se obtiene: $$\log x \Rightarrow \log(-4)$$ Que no existe, puesto que no hay logaritmos de números negativos. De modo que la ecuación logarítmica tiene una única solución, que es $x=1$.