Equacions diofàntiques quadràtiques

Troba dues solucions de l'equació diofàntica següent: $x^2-y^2=21$

En aquest cas tenim que $n=21$. El que s'ha de fer, llavors, és trobar els divisors de $21$. Aquests són: $1, 3, 7$ i $21$.

A més, l'única forma de multiplicar-los per tal que el resultat sigui exactament $21$ és:

  1. $1\cdot21=21$. Els dos són senars, per tant agafant $a = 1$ i $b = 21$ s'obté una solució mitjançant la fórmula $\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$.

  2. $3\cdot7=21$. Aquí també són els dos són senars, per tant obtindrem una altra solució fent $a = 3$ i $b = 7$ i substituint en la fórmula anterior.

Les dues solucions són:

  1. Si $a = 1$ i $b = 21$: $$x=\dfrac{1+21}{2}=11 \ \ \ \ y=\dfrac{1-21}{2}=-10$$ Es pot comprovar fàcilment que és solució $$11^2-(-10)^2=121-100=21$$

  2. Si $a = 3$ i $b = 7$, llavors la solució és $$x=\dfrac{3+7}{2}=5 \ \ \ \ y=\dfrac{3-7}{2}=-2$$ Si es vol, es pot comprovar que efectivament és solució $$5^2-(-2)^2=25-4=21$$

Tornar al tema