Equacions diofàntiques quadràtiques

Les equacions diofàntiques quadràtiques són equacions del tipus: $ax^2+bxy+cy^2=d$ on $a$, $b$, $c$ i $d$ són enters, i es demana que les solucions $x$ i $y$ siguin també nombres enters.

No obstant això, aquí només es tractaran equacions diofàntiques quadràtiques del tipus: $x^2-y^2=n$ amb $n$ qualsevol nombre enter.

En aquest cas, tal com abans, pot passar que l'equació no tingui solució, o bé que tingui més d'una solució. No obstant això, la condició perquè aquesta equació diofàntica tingui solució és més senzilla: si $n$ es pot escriure com a producte de dos nombres que siguin o bé tots dos parells, o bé senars, llavors hi haurà solució.

Si $n = 4$ tenim que $n = 2 \cdot 2$, i tots dos són parells, per tant l'equació $x^2-y^2=4$ té solució.

Si $n = 15$, tenim que $n = 3 \cdot 5$, $3$ i $5$ són tots dos senars, per tant l'equació $x^2-y^2=15$ té solució.

Si $n = 6$, tenim que els divisors de $6$ són $1, 2, 3$ i $6$.

A més, per tal que el resultat de multiplicar-los doni $6$ s'ha de fer o bé $1\cdot 6$, o bé $2 \cdot 3$, i no hi ha cap altra manera d'escriure $6$ com a producte de $2$ nombres enters (positius).

En cap dels 2 casos es compleix que tots dos nombres siguin parells o senars, així que l'equació $x^2-y^2=6$ no té solució.

Suposem ara que $n = a \cdot b$, amb $a$ i $b$ parells els dos o senars tots dos. Llavors una solució ve donada per: $$\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$$

Per exemple, en el cas que s'ha vist abans de $n = 4 = 2 \cdot 2$, tenim que $a= 2$ i $b = 2$, per tant una solució és $$\displaystyle \begin{array} {c}x=\frac{2+2}{2}=2 & y=\frac{2-2}{2}=0\end{array}$$

Observem que en cas que hi hagi una solució, aquesta pot no ser única, ja que és possible que $n$ admeti una altra descomposició com a producte de dos nombres parells o imparells.

Per exemple, si $n = 16$, tenim que $n = 2\cdot8$ (els 2 són parells) però també $n = 4\cdot4$ (i també els 2 són parells), i cadascuna d'aquestes dues representacions de $n$ dóna una solució diferent de l'equació diofàntica.