Ecuaciones diofánticas cuadráticas

Encuentra dos soluciones de la ecuación diofántica siguiente: $x^2-y^2=21$

En este caso se tiene que $n=21$. Lo que se debe hacer, entonces, es encontrar los divisores de $21$. Estos son: $1, 3, 7$ y $21$.

Además, la única forma de multiplicarlos para que el resultado sea exactamente $21$ es:

  1. $1\cdot21=21$. Los dos son impares, por lo tanto haciendo $a = 1$ y $b = 21$ se obtiene una solución mediante la fórmula $\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$.

  2. $3\cdot7=21$. Aquí también son los dos son impares, por lo tanto obtendremos otra solución haciendo $a = 3$ y $b = 7$ y sustituyendo en la fórmula anterior.

Las dos soluciones son:

  1. Si $a = 1$ y $b = 21$: $$x=\dfrac{1+21}{2}=11 \ \ \ \ y=\dfrac{1-21}{2}=-10$$ Se puede comprobar fácilmente que es solución $$11^2-(-10)^2=121-100=21$$

  2. Si $a = 3$ y $b = 7$, entonces la solución es $$x=\dfrac{3+7}{2}=5 \ \ \ \ y=\dfrac{3-7}{2}=-2$$ Si se quiere, se puede comprobar que efectivamente es solución $$5^2-(-2)^2=25-4=21$$

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