Equacions lineals homogènies a coeficients constants d'ordre n

a) Es tracta d'una EDO lineal d'ordre n, homogènia a coeficients constants. Per tant, calculem el seu polinomi característic $$p(\lambda)=2\lambda^2-3\lambda+4$$ i calculem les seves arrels. $$\lambda=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4\cdot2\cdot4}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{\sqrt{23}}{4}i$$ Per tant tenim una arrel complexa i la seva conjugada. Per tant, les funcions solució són: $$y_1(x)=e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$ $$y_2(x)=e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$ Tota solució s'escriu: $$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$

b) Aquest cas és el mateix que l'anterior. Per tant, calculem el polinomi característic: $$p(\lambda)=2\lambda^5-7\lambda^4+12\lambda^3+8\lambda^2=\lambda^2(2\lambda^3-7\lambda^2+12\lambda+8)$$ Les seves arrels són:

• $\lambda=0$ amb multiplicitat 2. Per tant dóna lloc a les funcions $y_1(x)=e^{0x}=1$, $y_2(x)=x\cdot e^{0x}=x$.

• $\lambda=-\dfrac{1}{2}$ simple. Per tant dóna lloc a la funció: $y_3(x)=e^{-\frac{1}{2}x}$.

• $\lambda=2\pm2i$ arrel simple amb la seva conjugada. Per tant donen lloc a les funcions: $y_4(x)=e^{2x}\cos(2x)$,$y_5(x)=e^{2x}\sin(2x)$.

D'aquesta manera tota solució és combinació lineal d'aquestes 5: $$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos(2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin(2x)$$