Equacions lineals homogènies a coeficients constants d'ordre n

Igual que passa amb els sistemes lineals d'ordre $1$, una EDO d'ordre $n$ té $n$ solucions linealment independents de manera que tota solució d'una EDO homogènia serà combinació lineal d'aquestes solucions. Per tant, resoldre l'EDO consistirà en trobar aquestes $n$ funcions.

Considerem l'EDO $$a_n \cdot y^{(n)} (x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+ \ldots +a_1 \cdot y'+ a_0 \cdot y=0$$ on $a_i$ són constants.

Un exemple d'EDO d'ordre $n$ homogènia és:$$y''+y=0$$

Llavors definim el polinomi característic de l'EDO com: $$a_n\cdot \lambda^n+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+ \ldots + a_1 \cdot \lambda+a_0=0$$ i busquem les seves $n$ arrels.

El polinomi característic és fàcil d'escriure, només cal canviar $y$ per $\lambda$ i elevar a l'ordre de derivació corresponent.

Per exemple, en l'EDO que hem donat abans, el polinomi característic associat és: $\lambda ^2+1=0$.

Aquest polinomi té dues arrels complexes conjugades: $\lambda_1=i, \ \lambda_2=-i$

Llavors

• Si $\lambda$ és real i simple donarà lloc a la solució: $e^{\lambda x}$
• Si $\lambda$ és real de multiplicitat $m$ donarà lloc a les $m$ solucions:$e^{\lambda x}, x\cdot e^{\lambda x}, x^2\cdot e^{\lambda x}, \ldots, x^{m-1} \cdot e^{\lambda x}$
• Si $\lambda=a+bi$ és complex i simple, donarà lloc a dues solucions: $e^{ax}\cos (bx), e^{ax}\sin (bx)$ (n'hi ha dos perquè sempre que hi ha una arrel complexa la seva conjugada també apareix)
• Si $\lambda=a+bi$ és complex de multiplicitat $m$, donarà lloc a les $2m$ solucions: $$e^{ax}\cos (bx),x \cdot e^{ax}\cos (bx), \ldots, x^{m-1}e^{ax}\cos (bx) \\ e^{ax}\sin (bx), x\cdot e^{ax}\sin (bx), \ldots, x^{m-1} e^{ax}\sin (bx)$$

Llavors, trobades aquestes $n$ solucions, la solució general de l'EDO serà una combinació lineal d'aquestes $n$ solucions.

Reprenguem l'exemple del principi. Com que el nostre polinomi tenia per arrels dos complexos conjugats (simples) estem en el cas $3$. Per tant la solució és: $$y(x)=c_1 \cdot \cos x+ c_2 \cdot \sin x$$ on les constants es determinaran amb les condicions inicials (en cas de tenir-les).