Ecuaciones lineales homogéneas a coeficientes constantes de orden n

a) Se trata de una EDO lineal de orden n, homogénea a coeficientes constantes. Por lo tanto, calculemos su polinomio característico $$p(\lambda)=2\lambda^2-3\lambda+4$$ y calculemos sus raíces. $$\lambda=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4\cdot2\cdot4}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{\sqrt{23}}{4}i$$ Por lo tanto tenemos una raíz compleja y su conjugada. Por lo tanto, las funciones solución son: $$y_1(x)=e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$ $$y_2(x)=e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$ Toda solución se escribe: $$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$

b) Este caso es el mismo que el anterior. Por lo tanto, calculemos el polinomio característico: $$p(\lambda)=2\lambda^5-7\lambda^4+12\lambda^3+8\lambda^2=\lambda^2(2\lambda^3-7\lambda^2+12\lambda+8)$$ Sus raíces son:

• $\lambda=0$ con multiplicidad $2$. Por lo tanto da lugar a las funciones $y_1(x)=e^{0x}=1$, $y_2(x)=x\cdot e^{0x}=x$.

• $\lambda=-\dfrac{1}{2}$ simple. Por lo tanto da lugar a la función: $y_3(x)=e^{-\frac{1}{2}x}$.

• $\lambda=2\pm2i$ raíz simple con su conjugada. Por lo tanto dan lugar a las funciones: $y_4(x)=e^{2x}\cos(2x)$,$y_5(x)=e^{2x}\sin(2x)$.

De esta forma toda solución es combinación lineal de estas 5: $$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos(2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin(2x)$$