Equacions lineals a coeficients constants d'ordre n

Tenim una EDO lineal a coeficients constants no homogènia. Primer de tot resolem la part homogènia $$y''+4y=0$$ Tenim per polinomi característic: $p(\lambda)=\lambda^2+4$ que que té per arrels:

• $\lambda=\pm2i$ arrel complexa i la seva conjugada que donen per solució $y_1(x)=\cos(2x)$ y $y_1(x)=\sin(2x)$.

Busquem un polinomi $Q(D)$ que anul·li $f(x)$. Per fer-ho procedim de manera inversa de quan calculem solucions homogènies:

• $\cos(x)$ procedeix d'una arrel complexa $\lambda=i$

• $\sin(x)$ procedeix d'una arrel complexa $\lambda=-i$

• $1$ procedeix d'una arrel real simple $\lambda=0$

Per tant el polinomi és $Q(D)=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)(D-0)=(D^2+Id)D$

Considerem el nou problema homogeni $Q(D)P(D)y(x)=0$ $$Q(D)P(D)y(x)=(D^2+Id)D(D^2+4D)y(x)=$$ $$=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)D(D^2-4Id)y(x)=0$$ Obtenim que les solucions del problema són: $$y^*(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+C_3+C_4\sin(x)+C_5\cos(x)$$ Ara, agafem les funcions que són solució de $y^*$, però que no ho eren de $y_h$, i busquem una solució particular de com combinació lineal d'aquestes solucions: $$y_p(x)=A+B\cdot \cos(x)+C\cdot\sin(x)$$ Imposem que sigui solució: $$\left. \begin {array} {l} y_p''+4y_p=4\cos(x)+3\sin(x)-8 \\ y_p''+4y_p=-B\cos(x)-C\sin(x)+4A+4B\cos(x)+4C\sin(x)= \\ = 4A+3B\cos(x)+3C\sin(x)\end{array}\right\}$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} 4A=-8 \\ 3B=4 \\ 3C=3 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} A=-2 \\ B=\dfrac{4}{3} \\ C=1 \end{array}\right.$$ Finalment tenim que la solució general és: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{4}{3}\cos(x)+\sin(x)-2$$