Ecuaciones lineales a coeficientes constantes de orden n

Tenemos una EDO lineal a coeficientes constantes no homogénea. Primero de todo resolvemos la parte homogénea $$y''+4y=0$$ Tenemos por polinomio característico: $p(\lambda)=\lambda^2+4$ que tiene por raíces:

• $\lambda=\pm2i$ raíz compleja y su conjugada que dan por solución $y_1(x)=\cos(2x)$ y $y_1(x)=\sin(2x)$.

Buscamos un polinomio $Q(D)$ que anule nuestra $f(x)$. Para hacerlo procedemos de forma inversa de cuando calculamos soluciones homogéneas:

• $\cos(x)$ procede de una raíz compleja $\lambda=i$

• $\sin(x)$ procede de una raíz compleja $\lambda=-i$

• $1$ procede de una raíz real simple $\lambda=0$

Por lo tanto el polinomio es $Q(D)=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)(D-0)=(D^2+Id)D$

Consideramos el nuevo problema homogéneo $Q(D)P(D)y(x)=0$ $$Q(D)P(D)y(x)=(D^2+Id)D(D^2+4D)y(x)=$$ $$=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)D(D^2-4Id)y(x)=0$$ Obtenemos que las soluciones de este problema son: $$y^*(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+C_3+C_4\sin(x)+C_5\cos(x)$$ Ahora, cogemos las funciones que son solución de $y^*$, pero que no lo eran de $y_h$, y buscamos una solución particular de como combinación lineal de estas soluciones: $$y_p(x)=A+B\cdot \cos(x)+C\cdot\sin(x)$$ Imponemos que sea solución: $$\left. \begin {array} {l} y_p''+4y_p=4\cos(x)+3\sin(x)-8 \\ y_p''+4y_p=-B\cos(x)-C\sin(x)+4A+4B\cos(x)+4C\sin(x)= \\ = 4A+3B\cos(x)+3C\sin(x)\end{array}\right\}$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} 4A=-8 \\ 3B=4 \\ 3C=3 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} A=-2 \\ B=\dfrac{4}{3} \\ C=1 \end{array}\right.$$ Finalmente tenemos que la solución general es: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{4}{3}\cos(x)+\sin(x)-2$$