Equacions lineals a coeficients constants d'ordre n

Buscarem solucions d'un sistema lineal a coeficients constants d'ordre $n$ no homogeni. Tot i així, haurem d'afegir una restricció en el mètode que presentarem.

Si la nostra EDO és: $$a_n \cdot y^{(n)}(x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}(x)+ \ldots + a_1 \cdot y'(x) +a_0 \cdot y(x)= f(x)$$ (lineal a coeficients constants) hem de demanar que la funció $f(x)$ sigui un polinomi, una exponencial, sinus o cosinus o qualsevol combinació d'aquestes.

És a dir, ara estarem preparats per resoldre per exemple: $$y''+y=3 \cos x+e^2x$$

Pel mateix motiu que en sistemes lineals, una solució general d'aquesta equació és la suma de la solució de la part homogènia i la solució particular de la no homogènia.

Anem a resoldre l'EDO pel mètode del polinomi anul·lador o de coeficients indeterminats.

Suposem que tenim l'EDO escrita anteriorment i $f(x)$ una funció que compleix les condicions que hem demanat. Llavors:

• Resolem la part homogènia. De manera que obtenim $n$ solucions linealment independents.

En l'exemple que hem donat, les solucions són:$$y_1(x)=\cos x \\ y_2(x)=\sin x$$

• Busquem un polinomi que anul·li $f(x)$. Aquesta operació consisteix a trobar un polinomi que els seus coeficients multipliquin les derivades. És a dir:$$Q(D)=b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots+b_1D+b_0Id$$on $D^k$ significa derivar $k$ vegades la funció que el multiplica. Així,$$Q(D)f(x)=\Big(b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots +b_1D+b_0Id\Big) f(x)=\\=b_nD^nf(x)+b_{n-1}D^{n-1}f(x)+ \ldots + b_1 D f(x)+b_0Id\cdot f(x)= \\ =b_n f^n (x)+b_{n-1}f^{n-1}(x)+ \ldots +b_1 f'(x)+b_0f(x)=0$$És a dir, és com buscar quina EDO lineal i homogènia satisfà $f (x)$. Per fer-ho procedim de manera inversa (de quan trobem solucions en el cas homogeni).

En l'exemple anterior, hem de trobar un polinomi que anul·li $f(x)=3 \cos x+e^{2x}$.

Procedim de manera inversa que quan trobem solucions, és a dir: $\cos x$ prové de $\lambda=ie^{2x}$ que prové de $\lambda=2$.

Per tant el polinomi anul·lador és: $Q(D)=\Big(D^2+ID\Big) \cdot (D \cdot 2Id)$.

En efecte, $$Q(D)f(x)=\Big(D^2+Id \Big) \cdot \Big(D-2Id\Big) f(x)=\Big( D^3-2D^2+D-2Id\Big)f(x)=\\ =f'''(x)-ef''(x)+f'(x)-2f(x)=\\=3 \sin x+8e^{2x}+6 \cos x- 8e^{2x}-3 \sin x+2e^{2x}-6\cos x-2e^{2x}=0$$

• Notem que, introduint aquesta notació, la nostra EDO inicial es pot escriure com $P(D)y(x)=f(x)$ , amb $$P(D)=a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+\ldots+a_1D+a_0Id$$ Aplicant el polinomi $Q (D)$ a l'anterior igualtat tenim: $$P(D)y(x)=f(x) \Longrightarrow Q(D)P(D)y(x)=Q(D)f(x)=0$$ i per tant tenim una nova equació, però homogènia d'ordre $k$ (més gran que $n$). Llavors solucionem aquest problema, obtenint $k$ funcions, de les quals les $n$ primeres són solucions trobades en (1).$$y^\star (x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\ldots+C_ny_n(x)+D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+ \ldots +D_k \widetilde{y}_k(x)$$

En l'exemple anterior, doncs, tenim $Q(D)P(D)=(D^2+Id)(D^2+Id)(D-2Id)$ que té per arrels (i per tant per solucions associades): $\lambda = \pm i$ amb multiplicitat $2$ que dóna per solucions $\cos x, \sin x, x \cdot \cos x, x \cdot \sin x$, $\lambda=2 $ que dóna per solució $e^{2x}$.

Per tant tenim que $$y^\star (x)=C_1\cos x+C_2 \sin x+D_1 x\cdot \cos x+D_2 x \cdot \sin x+D_3 e^{2x}$$

• Busquem una solució particular de l'equació no homogènia de la forma: $y_p(x)=D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+\ldots+D_k\widetilde{y}_k(x)$ és a dir, agafem les solucions que han aparegut en (3), que no teníem en (1) i busquem certs coeficients per obtenir la solució.

En el nostre exemple, hem de buscar una solució particular de la forma: $y_p(x)=D_1\cdot \cos x$.

Imposem que sigui solució: $$y''_p+y_p=3 \cos x+e^{2x} \\ y''_p+y_p=-2D_1\sin x-D_1x\cos x+2D_2\cos x-D_2x\sin x+4D_3e^{2x}+D_1x \cos x+$$ $$+D_2 x \sin x+D_3 e^{2x}= \\ =-2D_1 \sin x +2 D_2 \cos x+ 5D_3e^{2x}$$ Igualant coeficients, obtenim: $$D_1=0 \\ D_2=\displaystyle \frac{3}{2} \\ D_3= \displaystyle \frac{1}{5}$$ Per tant, la solució particular és: $\displaystyle y_p(x)=\frac{3}{2}x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$

• Finalment, tenim que la solució general de la nostra EDO no homogènia inicial és:$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$

Per acabar amb el nostre exemple, tenim que la solució general és: $$y(x)=c_1\cos x +c_2 \sin x+\displaystyle \frac{3}{2} x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$$