Equacions diferencials ordinàries lineals

Aquesta és una EDO lineal, dividint l'equació per $x$ (notem que $x$ no pot ser zero, ja que no es compliria la igualtat).

Per tant, reescrivim l' EDO $$y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y+\dfrac{1}{x^2}=a(x)\cdot y+b(x)$$ veient, clarament, que és una EDO lineal.

EDO Homogènia:

Busquem una solució de l' EDO homogènia: $y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y$ que es tracta d'una EDO separable que sabem resoldre: $$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{x}\cdot y \Rightarrow \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{2}{x}dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{2}{x}dx \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \ln|y|=\ln|x^{-2}|+C \Rightarrow y(x)=\dfrac{k}{x^2}, \ k\in\mathbb{R}$$

EDO no homogènia:

Busquem una solució particular del tipus $y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$ on $y_1(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Sabem que la funció $u(x)$ és solució de $$u'=\dfrac{b(x)}{y_1}=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}=1$$ per tant $u(x)=x$.

Així doncs, una solució particular és: $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)=x\cdot\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}$$ Finalment, la solució serà la suma de la les solucions trobades: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{1}{x}, \ k\in\mathbb{R}$$