Equacions diferencials ordinàries lineals

Una EDO lineal és una EDO de la forma: $$y'=a(x) \cdot y+b(x)$$ on $a(x)$ i $b(x)$ són funcions contínues.

Un exemple d'EDO lineal seria: $$y'=5x^2\cdot y+2x^2$$ encara que, de vegades, trobarem una EDO lineal després de fer alguna transformació. Per exemple, podrien haver-nos donat l'EDO de la següent manera: $$\displaystyle \frac {y'}{5x^2}=y+\frac{2}{5}$$

i l'hauríem de reescriure (multiplicant per $x^2$) per aconseguir la forma anterior.

En el cas particular en què $b(x)=0$, direm que l'equació és homogènia.

La resolució d'aquest tipus d'equacions es divideix en dos passos.

• Resoldre la part homogènia.

Resolem l'equació: $y'_h=a(x)\cdot y_h$. Es tracta d'una EDO separable, i que, per tant, sabem resoldre. Aquesta solució és: $$y_h(x)=k\cdot e^{\int a(x) \ dx}$$

En el nostre exemple, tenim: $$\displaystyle y'_h=5x^2y_h \Rightarrow y_h(x)=k\cdot e^{\int 5x^2 \ dx}=k \cdot e^{\frac{5}{3}x^3}$$

• Trobar una solució particular de l'EDO no homogènia.

Per a això utilitzarem el mètode de variació de constants. Anomenant $y_1(x)=e^{\int a(x) dx}$ busquem una solució particular del tipus $y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$.

Imposem que sigui solució: $$\displaystyle \left.\begin{matrix} y'_p=u' \cdot y_1+u \cdot y'_1=u'\cdot y_1+u\cdot a(x) \cdot y_1 \\ y'_p=a(x) \cdot y_p+b(x)=a(x)\cdot u\cdot y_1+b(x) \end{matrix}\right\} \Rightarrow u'=\frac{b(x)}{y_1}$$

Resolem aquesta última equació (només cal integrar a banda i banda) i ja tenim una solució particular.

En el nostre exemple prenem $$\displaystyle y_1(x)=e^{\frac{5}{3}x^3}$$ Llavors busquem una solució particular de la forma $y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$. Hem vist que $u(x)$ té la següent derivada $$\displaystyle u'=\frac{b(x)}{y_1(x)}=\frac{2x^2}{e^{\frac{5}{3}x^3}}=2x^2\cdot e^{-\frac{5}{3}x^3}$$

i, integrant, s'obté: $$\displaystyle u(x)=\int 2x^2\cdot e^{-\frac{5}{3}x^3} \cdot dx = -\frac{2}{5} e^{-\frac{5}{3}x^3}$$

D'aquesta manera, $$y_p(x)=-\frac{2}{5} \cdot e^{-\frac{5}{3}x^3}\cdot e^{\frac{5}{3}x^3}=-\frac{2}{5} $$

Finalment la solució de l'equació lineal és $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$. Remarquem que la constant apareix en la solució homogènia (no té sentit posar constants d'integració en la particular).

Per tant, en el nostre exemple, la solució de l'EDO és: $$y(x)=k \cdot e^{\frac{5}{3}x^3}-\frac{2}{5}$$