Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Ésta es una EDO lineal, puesto que dividiendo la ecuación por $x$ (notemos que $x$ no puede ser cero, ya que no se cumpliría la igualdad).

Por tanto, reescribimos la EDO: $$y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y+\dfrac{1}{x^2}=a(x)\cdot y+b(x)$$ que es una EDO lineal.

EDO Homogénea:

Buscamos una solución de la EDO homogénea: $y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y$ que se trata de una EDO separable que sabemos resolver: $$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{x}\cdot y \Rightarrow \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{2}{x}dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{2}{x}dx \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \ln|y|=\ln|x^{-2}|+C \Rightarrow y(x)=\dfrac{k}{x^2}, \ k\in\mathbb{R}$$

EDO no homogénea:

Buscamos solución particular del tipo $y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$ donde $y_1(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Sabemos que la función $u(x)$ es solución de $$u'=\dfrac{b(x)}{y_1}=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}=1$$ por lo tanto $u(x)=x$.

Así pues, una solución particular es: $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)=x\cdot\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}$$ Finalmente, la solución será la suma de la las soluciones encontradas: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{1}{x}, \ k\in\mathbb{R}$$