Equació de segon grau a partir de les solucions i de la suma i el producte de les arrels

Fent el producte corresponent

$$(x-\dfrac{1}{3})\cdot(x+\dfrac{2}{5})=x^2+\dfrac{1}{15}x-\dfrac{2}{15}$$ Podem treure denominadors multiplicant per 15, de manera que arribem a l'equació $15x^2+x-2=0$.

Si $D = 0$ vol dir que l'equació té una arrel doble i si aquesta ha de ser $-6$ tenim que $$(x-6)\cdot(x-6)=x^2-12x+36$$

Apliquem la fórmula $x^2-sx+p=0$, sabent que en aquest cas $s = 9$ i $p = 20$.

$$x^2-9x+20=0$$ $$\displaystyle x=\frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{2}= \frac{9 \pm 1}{2}=\left \{\begin{matrix} x_1=5 \\ x_2=4\end{matrix}\right.$$ De manera que els nombres demanats seran $5$ i $4$.

Anomenem $a$ i $b$ als costats del rectangle. Sabem que $a\cdot b = 600$ i $2a + 2b = 100$, o el que és el mateix $a + b = 50$.

Aplicant la fórmula $x^2-sx+p=0$ tenim que l'equació de segon grau corresponent és: $x^2-50x+600=0$. $$\displaystyle x=\frac{50 \pm \sqrt{50^2-4\cdot600}}{2}= \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2}=\frac{50 \pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=30 \\ x_2=20\end{matrix}\right.$$ Amb el que el pati tindrà $30$ metres de llarg per $20$ d'ample.