Ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones y suma y producto de raíces

Haciendo el producto correspondiente

$$(x-\dfrac{1}{3})\cdot(x+\dfrac{2}{5})=x^2+\dfrac{1}{15}x-\dfrac{2}{15}$$ Podemos quitar denominadores multiplicando por $15$, con lo que llegamos a la ecuación $15x^2+x-2=0$.

Si $D = 0$ quiere decir que la ecuación tiene una raíz doble y si ésta ha de ser $-6$ tendremos que $$(x-6)\cdot(x-6)=x^2-12x+36$$

Aplicamos la fórmula $x^2-sx+p=0$, sabiendo que en este caso $s = 9$ y $p = 20$.

$$x^2-9x+20=0$$ $$\displaystyle x=\frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{2}= \frac{9 \pm 1}{2}=\left \{\begin{matrix} x_1=5 \\ x_2=4\end{matrix}\right.$$ Con lo que los números pedidos serán $5$ y $4$.

Llamemos $a$ y $b$ a los lados del rectángulo. Sabemos que $a\cdot b = 600$ y $2a + 2b = 100$, o lo que es lo mismo $a + b = 50$.

Aplicando la fórmula $x^2-sx+p=0$ tendremos que la ecuación de segundo grado correspondiente es: $x^2-50x+600=0$. $$\displaystyle x=\frac{50 \pm \sqrt{50^2-4\cdot600}}{2}= \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2}=\frac{50 \pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=30 \\ x_2=20\end{matrix}\right.$$ Con lo que el patio tendrá $30$ metros de largo por $20$ de ancho.