Equació de segon grau a partir de les solucions i de la suma i el producte de les arrels

Construcció d'una equació de segon grau a partir de les seves solucions

Anem a veure ara la manera com es pot construir una equació de segon grau quan es coneixen les solucions.

Les solucions de l'equació $x^2+2x-3=0$ són:

$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2 \pm 4}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=-3 \end{matrix}\right.$$

Observem ara què passa quan fem el producte $(x-x_1) \cdot (x-x_2)$

$$(x-1) \cdot (x+3)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3$$

Hem arribat doncs a l'equació original.

De manera que "el producte de $x$ menys una arrel per $x$ menys l'altra arrel és igual a l'equació de segon grau que té com a solucions aquestes arrels".

Si les solucions de l'equació són $x_1=4,x_2=2$ l'equació corresponent de segon grau és:

$$(x-4)(x-2)=x^2-6x+8=0$$

Si les solucions de l'equació són $x_1=-1, x_2=-5$ l'equació corresponent de segon grau és:

$$(x+1)(x+5)=x^2+6x+5=0$$

Si les solucions de l'equació són $x_1=3, x_2= \displaystyle -\frac{2}{3}$ l'equació corresponent de segon grau és:

$$\displaystyle (x-3)(x+\frac{2}{3})=x^2-\frac{7}{3}x-2=0$$

Si les arrels de l'equació són $x_1=0, x_2=16$ l'equació corresponent de segon grau és:

$$(x-0)(x-16)=x^2+16x=0$$

Reconstrucció d'una equació de segon grau a partir de la suma i el producte d'arrels

Sabem que $(x-x_1)\cdot (x-x_2)$ condueix a l'equació que té a $x_1,x_2$ com solucions. Si fem aquest producte:

$$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$

expressió en la que apareixen la suma i el producte d'arrels als que podem anomenar $s$ i $p$.

$$s= x_1+x_2 \\ p=x_1\cdot x_2$$

Amb el que l'equació de segon grau adquireix la forma:

$$x^2-sx+p=0$$

Construir una equació de segon grau sabent que la suma de les seves arrels val $5$ i el producte $6$.

Tindrem $s = 5, \ p = 6$ amb el que l'equació serà:

$$x^2-5x+6=0$$

Aquest mètode és més ràpid que el de fer el producte d'arrels:

Vegem més exemples:

L'equació de segon grau que té per solucions $4$ i $9$ és:

$$x^2-13x+36=0$$

L'equació de segon grau que té per solucions $-3$ i $-5$ és:

$$x^2+8x+15=0$$

En principi no és senzill crear un enunciat que ens condueixi a una equació de segon grau. La manera més senzilla seria escriure literalment el que diu l'equació.

Si volem que la solució del problema sigui l'equació $x^2-5x+6=0$ podem plantejar un enunciat del tipus: Si elevem una quantitat al quadrat i després li restem cinc vegades aquesta mateixa quantitat el resultat és menys $6$, quina és aquesta quantitat?

És clar que és un enunciat més interessant el que diu "Trobar dos nombres sabent que la seva suma val $5$ i el producte $6$" enunciat que condueix a la mateixa equació i les solucions són les resultants de resoldre l'equació proposta:

$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \frac{5 \pm 1}{2}= \left\{ \begin{matrix} x_1=3 \\ x_2=2\end{matrix} \right.$$

Aquestes mateixes dades ens permeten fer un plantejament de tipus geomètric.

Sabem que el perímetre d'un rectangle és $10$ i la seva àrea $6$. Calcular els costats d'aquest rectangle.

El perímetre del rectangle és la suma de tots els seus costats, de manera que $a+a+b+b = 2a + 2b= 2(a+b) = 10$, que és, $a + b = 5$

D'altra banda l'àrea del rectangle és $a \cdot b = 6$.

Després el que se'ns demana és que resolem una equació de segon grau en què la suma d'arrels val $5$ i el producte $6$, el que ens porta a l'equació $x^2-5x+6=0$.

La solució és:

$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5 \pm 1}{2}$$

Amb el que els costats del rectangle seran $a = 2$ i $b = 3$