Unió, intersecció i complementari d'intervals

1. Calculem primer la intersecció, i al resultat li calcularem el complementari. Observant els extrems dels intervals donats, tenim l'ordre següent: $-2 < 1 < 3 < 8$

Amb el que tenim que els valors entre $1$ i $3$ pertanyen a tots dos intervals, i amb la qual cosa, pertanyen a la intersecció. Així doncs tenim que el resultat de la intersecció és: $$(1,8)\cap[-2,3]=[1,3)$$ Ara només falta calcular el complementari d'aquest interval: $$\overline{[1,3)}=(-\infty,1)\cup[3,+\infty)$$

2. Calculem primer els complementaris: $$\overline{[\sqrt{5},9]}=(-\infty,\sqrt{5})\cup(9,+\infty)$$ $$\overline{(-2,\dfrac{\sqrt{2}}{3})}=(-\infty,-2]\cup[\dfrac{\sqrt{2}}{3},+\infty)$$

Llavors, com que $\dfrac{\sqrt{2}}{3} < \sqrt{5}$, tenim que la unió és el total $\mathbb{R}.$

3. Tenim que: $\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})\cup\overline{(-4,+\infty)}}= \overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}$

Però com que el complementari del complementari és el mateix conjunt, ens queda:

$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}=\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap (-4,+\infty)$

Si calculem el complementari: $\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})}=[-\dfrac{5}{7},+\infty)$

Així que finalment, calculem la intersecció:

$$[-\dfrac{5}{7},+\infty)\cap(-4,+\infty)=[-\dfrac{5}{7},+\infty) $$