Unión, intersección y complementario de intervalos
Calcula los conjuntos siguientes, di si son o no intervalos y clasifícalos,
- $\overline{(1,8)\cap[-2,3]}$
- $\overline{[\sqrt{5},9]}\cup\overline{(-2,\dfrac{\sqrt{2}}{3})}$
- $\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})\cup\overline{(-4,+\infty)}}$
- Calculamos primero la intersección, y al resultado le calcularemos el complementario. Observando los extremos de los intervalos dados, tenemos el orden siguiente: $-2 < 1 < 3 < 8$
Con lo que tenemos que los valores entre $1$ y $3$ pertenecen a ambos intervalos, y con lo cual, pertenecen a la intersección. Así pues tenemos que el resultado de la intersección es: $$(1,8)\cap[-2,3]=[1,3)$$ Ahora solamente resta calcular el complementario de este intervalo: $$\overline{[1,3)}=(-\infty,1)\cup[3,+\infty)$$
- Calculamos primero los complementarios: $$\overline{[\sqrt{5},9]}=(-\infty,\sqrt{5})\cup(9,+\infty)$$ $$\overline{(-2,\dfrac{\sqrt{2}}{3})}=(-\infty,-2]\cup[\dfrac{\sqrt{2}}{3},+\infty)$$
Entonces, como que $\dfrac{\sqrt{2}}{3} < \sqrt{5}$, tenemos que la unión es el total $\mathbb{R}.$
- Tenemos que: $\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})\cup\overline{(-4,+\infty)}}= \overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}$
Pero como que el complementario del complementario es el propio conjunto, nos queda:
$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}=\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap (-4,+\infty)$
Si calculamos el complementario: $\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})}=[-\dfrac{5}{7},+\infty)$
Así que finalmente, calculamos la intersección:
$$[-\dfrac{5}{7},+\infty)\cap(-4,+\infty)=[-\dfrac{5}{7},+\infty) $$
- $(-\infty,1)\cup[3,+\infty):$ no es un intervalo, pues se trata de la unión de dos intervalos,ambos no acotados y uno abierto y el otro cerrado.
- $\mathbb{R}=(-\infty, +\infty):$ es un intervalo no acotado.
- $[-\dfrac{5}{7},+\infty):$ es un intervalo cerrado, y no acotado superiormente.