Unió, intersecció i complementari d'intervals

Unió d'intervals

Donats dos intervals reals qualssevol, la seva unió és un conjunt format per tots els elements que pertanyen al primer interval, i tots els elements que pertanyen al segon.

La unió dels intervals $(a,b)$ i $(c,d)$ es denota per $(a,b)\cup (c,d)$ i es calcula:

$$(a,b)\cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{o bé} \ x\in(c,d)\}=$$ $$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b \ \mbox{o bé} \ c < x < d\}$$

En funció de l'ordre en què es troben els números $a, b, c$ i $d$ el resultat serà un o altre. En ser $(a,b)$ i $(c,d)$ dos intervals, necessàriament $a < b$ i $c < d$, però pot canviar la posició relativa dels extrems d'un interval respecte als extrems de l'altre. D'aquesta manera, podem trobar la casuística següent:

• Si $a < b < c < d$ llavors la unió $(a,b) \cup (c,d)$ dóna com a resultat el conjunt format pels dos intervals: $$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{o bé} \ x\in(c,d) \} $$ El resultat serà el mateix si $c < d < a < b.$

• Si $a < c < d < b$, tenim que l'interval $(c,d)$ s'inclou en $(a,b)$, llavors, $$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{o} \ c < x < d\} = $$ $$= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b\}=$$ $$=(a,b)$$

Anàlogament, si $c < a < b < d$, obtenim que $(a,b) \cup (c,d)=(c,d)$. És a dir, si un interval està inclòs en un altre, la unió de tots dos és igual a l'interval major.

• Si $c < a < d < b$, llavors tenim que $$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{o bé} \ c < x < d\}$$ Però en ser $c < a$ i $d < b$, tenim que dos intervals es sobreposen de manera que ens queda un únic interval: $$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ c < x < b\} = (c,b)$$

De la mateixa manera, si $a < c < b < d$ obtenim que: $$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < d\} = (a,d)$$

Observem ara que la unió d'intervals no té per què ser sempre un sol interval. A més, per al cas d'intervals no oberts, ja siguin tancats o mixtes, el resultat és anàleg, només s'ha de tenir en compte que les desigualtats estrictes passaran a ser desigualtats no estrictes.

Vegem per exemple la unió entre els intervals $(3,9)$ i $[7,11]$: $$(3,9) \cup [7,11] = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ 3 < x < 9, \ \mbox{o bé} \ 7 \leq x \leq 11\} = $$ $$= \{x\in\mathbb{R} \ | \ 3 < x \leq 11\}=(3,11]$$

Per tant, $(3,9) \cup [7,11] = (3,11].$

En aquest cas la unió de dos intervals ens ha donat un interval.

Un altre exemple, veiem la unió dels intervals $(-1,0)$ i $(0,+\infty)$: $$(-1,0) \cup (0,+\infty) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ -1 < x < 0, \ \mbox{o bé} \ 0 < x \}$$ I aquesta expressió no es pot simplificar més, com el que la unió dels intervals $(-1,0)$ i $(0,+\infty)$ ens queda com $$(-1,0) \cup (0,+\infty)$$

Intersecció d'intervals

Donats dos intervals reals qualssevol, la seva intersecció és un conjunt format per tots els elements que pertanyen a tots dos intervals.

La intersecció dels intervals $(a,b)$ i $(c,d)$ es denota per $$(a,b)\cap(c,d)$$ i es calcula: $$(a,b)\cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{y} \ x\in(c,d)\}=$$ $$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b \ \mbox{y} \ c < x < d\}$$

En funció de l'ordre en què es troben els números $a, b, c$ i $d$ el resultat serà un o altre. Igual que en la unió, tenim que $a < b$ i $c < d$, però pot canviar la posició relativa dels extrems d'un interval respecte als extrems de l'altre. D'aquesta manera, podem trobar la casuística següent:

• Si $a < c < d < b$, tenim que l'interval $(c,d)$ s'inclou en $(a,b)$, llavors, $$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{y} \ c < x < d\} = $$ $$= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < c < x < d < b\}=$$ $$=(c,d)$$

Anàlogament, si $c < a < b < d$, obtenim que $(a,b) \cap (c,d)=(a,b)$. És a dir, si un interval està inclòs en un altre, la intersecció d'ambdós és igual a l'interval menor.

• Si $c < a < d < b$, llavors tenim que $$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{y} \ c < x < d\} =$$ $$=\{x\in\mathbb{R} \ | \ c < a < x < d < b\} =$$ $$=(a,d)$$

De la mateixa manera, si $a < c < b < d$, obtenim que: $$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ b < x < c\} = (b,c)$$

• Si $a < b < c < d$ llavors la intersecció $(a,b) \cap (c,d)$ ens dóna: $$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{y} \ x\in(c,d) \} $$ però en ser $b < c$, tenim que no hi ha cap valor $x$ que pertanyi a dos intervals simultàniament. En aquest cas direm que la intersecció és buida i el denotarem pel símbol $\emptyset$: $$(a,b) \cap (c,d)=\emptyset.$$ El resultat serà el mateix si $c < d < a < b$.

En el cas de tenir dos intervals tals que la intersecció sigui el buit, direm que són dos intervals disjunts.

El concepte buit, $\emptyset$, es considera també un interval, ja que $\emptyset=(a,a)$ per a qualsevol nombre real $a$,així que, a diferència de la unió, la intersecció d'intervals és sempre un interval, encara que es pot tractar del cas particular de l'interval buit.

Vegem un exemple d'intersecció d'intervals.

Considerem els intervals $[0,+\infty)$ i $(-\infty,1)$.

Llavors la seva intersecció és: $$[0,+\infty) \cap (-\infty,1) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ 0 \leq x \ \mbox{y} \ x < 1\} =$$ $$=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 0 \leq x < 1 \} =$$ $$=[0,1)$$

Complementari

El pas a complementari és una operació que afecta un únic interval.

Donat un interval qualsevol el seu complementari és el conjunt de nombres que no pertanyen a l'interval.

Denotarem el complementari de l'interval $J=(a,b)$ per $$\overline{J}=\overline{(a,b)}$$

Per calcular farem la casuística en funció de si es tracta d'un interval fitat o no fitat:

• Si l'interval és tancat, tenim: $$\overline{(a,b)}= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin (a,b)\} =$$ $$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\leq a, \ \mbox{o bé} \ b\leq x\}=$$ $$=(-\infty,a]\cup [b,+\infty)$$

• Si l'interval no és fitat, tenim: $$\overline{(-\infty,b)}= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin (-\infty,b)\} =$$ $$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ b\leq x\}=$$ $$=[b,+\infty)$$

O anàlogament,

$$\overline{(a,+\infty)}= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin (a,+\infty)\} =$$ $$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\leq a\}=$$ $$=(-\infty,a]$$

En el cas particular de l'interval buit, $\emptyset$, tenim que el seu complementari són tots els elements que no pertanyen a $\emptyset$, però en no haver-hi cap element a $\emptyset$, tenim que el complementari del buit és el total: $$\overline{\emptyset}=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin \emptyset= \mathbb{R}\}$$

Cal remarcar, a més, que el total és també un interval, ja que: $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$.