Ordenació dels nombres reals

Suposem primer que tant $a$ com $b$ són nombres positius, és a dir, $0 < a < b$, llavors, multipliquem la desigualtat $a < b$ per $a$, i obtenim: $$a\cdot a < a \cdot b \Rightarrow a^2 < a\cdot b $$

A continuació multipliquem la desigualtat per $b$ i obtenim: $$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a\cdot b < b^2$$

I si unim tots dos desigualtats, tenim que: $$a^2 < a\cdot b < b^2 \Rightarrow a^2 < b^2$$

Suposem ara que tant $a$ com $b$ són nombres negatius, és a dir $a < b < 0$, i repetim el procés. En multiplicar la desigualtat per $a$, obtenim: $$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a\cdot b $$

En multiplicar per $b$ obtenim: $$a\cdot b > b \cdot b \Rightarrow a\cdot b > b^2$$

I si unim tots dos desigualtats, tenim que: $$a^2 > a\cdot b > b^2 \Rightarrow a^2 > b^2$$

Però vegem a veure que passa si un dels nombres és més gran que zero i l'altre menor. És a dir, si tenim $a < 0 < b$. Procedint de la mateixa manera, obtenim, en multiplicar la desigualtat $a < b$ per $a$: $$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a \cdot b$$

I al multiplicar per $b$ obtenim: $$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a \cdot b < b^2 $$

De tal manera que no podem unir els dos resultats.

De fet podem trobar exemples de tot tipus:

Si escollim: $-\dfrac{1}{2} < 2$, llavors, $\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2$ i $2^2=4$ i es manté la desigualtat: $\dfrac{1}{4} < 4$.

Però si escollim $-2 < \dfrac{1}{2}$, llavors $(-2)^2=4$ i $\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{1}{4}$ i s'inverteix la desigualtat: $4 > \dfrac{1}{4}$.