Ordenación de los números reales

Supongamos primero que tanto $a$ como $b$ son números positivos, es decir, $0 < a < b$, entonces, multiplicamos la desigualdad $a < b$ por $a$, y obtenemos: $$a\cdot a < a \cdot b \Rightarrow a^2 < a\cdot b $$

A continuación multiplicamos la desigualdad por $b$ y obtenemos: $$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a\cdot b < b^2$$

Y si unimos ambas desigualdades, tenemos que: $$a^2 < a\cdot b < b^2 \Rightarrow a^2 < b^2$$

Supongamos ahora que tanto $a$ como $b$ son números negativos, es decir, $a < b < 0$, y repetimos el proceso. Al multiplicar la desigualdad por $a$, obtenemos: $$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a\cdot b $$

Al multiplicarla por $b$ obtenemos: $$a\cdot b > b \cdot b \Rightarrow a\cdot b > b^2$$

Y si unimos ambos desigualdades, tenemos que: $$a^2 > a\cdot b > b^2 \Rightarrow a^2 > b^2$$

Pero veamos a ver que sucede si uno de los números es mayor que cero y el otro menor. Es decir, si tenemos $a < 0 < b$. Procediendo de la misma forma, obtenemos, al multiplicar la desigualdad $a < b$ por $a$: $$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a \cdot b$$

Y al multiplicar por $b$ obtenemos: $$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a \cdot b < b^2 $$

De tal forma que no podemos unir ambos resultados.

De hecho podemos encontrar ejemplos de todo tipo:

Si escogemos: $-\dfrac{1}{2} < 2$, entonces, $\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2$ y $2^2=4$ y se mantiene la desigualdad: $\dfrac{1}{4} < 4$.

Pero si escogemos $-2 < \dfrac{1}{2}$, entonces $(-2)^2=4$ y $\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{1}{4}$ y se invierte la desigualdad: $4 > \dfrac{1}{4}$.