Ordenació dels nombres reals

En el conjunt $\mathbb{R}$ tenim definida una relació d'ordre que denotem $ < $ intuïtivament, si $a$ i $b$ són dos nombres reals, escriurem $a < b$ si en dibuixar sobre la recta real, el punt $a$ queda a l'esquerra del punt $b$. Direm llavors que $a$ és més petit que $b$.

Es sol utilitzar $a\leq b$ per indicar que el nombre $a$ és més petit o igual que $b$. També es diu que $\leq$ és símbol de desigualtat i que $ < $ ho és de desigualtat estricta.

Es diu que aquesta relació és d'ordre total $\mathbb{R}$: És a dir, donats dos nombres reals diferents $a$ i $b$, sempre es té $a < b$ o bé $b < a$. Dit d'un altre manera, $a$ i $b$ són sempre comparables.

Donats els números $\dfrac{7}{4}$ i $\dfrac{11}{6}$, si calculem les seves fraccions equivalents amb denominador comú (que serà el mínim comú múltiple entre els dos denominadors), tenim: $$mcm(4,6)=mcm(2^2, 2\cdot3)=2^2\cdot3=12$$ I per tant, ens queda: $$\dfrac{7}{4}=\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{3}{3}=\dfrac{21}{12}$$ $$\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{6}\cdot\dfrac{2}{2}=\dfrac{22}{12}$$

per tant, en ser $21 < 22$, ens queda que

$$\dfrac{21}{12} < \dfrac{22}{12} \Rightarrow \dfrac{7}{4} < \dfrac{11}{6}$$

Propietats de l'ordenació

Les operacions amb nombres reals i l'ordenació d'aquests estan relacionats per les següents propietats:

Monotonia de la suma: una desigualtat no s'altera en sumar la mateixa quantitat en els dos membres, és a dir, si $$a < b$$ llavors per a qualsevol nombre real $c$, es compleix que: $$a+c < b+c$$ També val si la desigualtat no és estricta: $a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c.$
Monotonia del producte per un nombre positiu: una desigualtat no s'altera si multipliquem els dos membres per un mateix nombre positiu, és a dir, si $a < b$ i $c$ és un nombre real positiu $(c > 0) $, es compleix: $$a\cdot c < b\cdot c$$ També val si la desigualtat no és estricta: $a\leq b$ i $c\geq 0 \Rightarrow a\cdot c \leq b\cdot c.$
Antimonotonía del producte per nombres negatius: tota desigualtat s'altera si multipliquem els dos membres per un mateix nombre negatiu, és a dir, si $a < b$ i $c$ és un nombre real negatiu $(c < 0)$, es compleix: $$a\cdot c > b\cdot c$$ També val si la desigualtat no és estricta: $a\leq b$ i $c\leq 0 \Rightarrow a\cdot c \geq b\cdot c.$

A la desigualtat $$-3 < 5$$ si sumem $-6$ en ambdós membres obtenim:

$-3+(-6)=-9$ i $5+(-6)=-1$, i es verifica que

$$-9 < -1.$$

Si multipliquem la desigualtat per $3$, tenim:

$-3\cdot 3= -9$ i $5\cdot3=15$, i es verifica que

$$-9 < 15$$

Finalment si multipliquem la desigualtat per $-\dfrac{1}{2}$, tenim:

$-3\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)= \dfrac{3}{2} $ i $5\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=-\dfrac{5}{2}$, i es verifica que

$$\dfrac{3}{2} > -\dfrac{5}{2}$$

Practicar exercicis