Intervals en nombres reals

Digues si les següents afirmacions són certes o falses:

  1. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ pertany a l'interval $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$
  2. $\sqrt{2}$ pertany a l'interval $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ pertany a l'interval $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$

  1. Com que $\sqrt{2} < \sqrt{5} < \sqrt{7}$, tenim que $\dfrac{1}{\sqrt{5}} \in \Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$

  2. $\sqrt{2} > \dfrac{1}{\sqrt{7}}$, i per tant, $\sqrt{2} \notin \Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$

  3. L'interval $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$ és tancat i acotat, de manera que els extrems pertanyen a ell.

  1. Cert.
  2. Fals.
  3. Cert.

Calcula:

  1. El centre i el radi de l'interval $[-\sqrt{5},2].$
  2. Els extrems de l'interval de centre $-\dfrac{1}{3}$ i radi $1$.

  1. El centre d'un interval és: $$C=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2-\sqrt{5}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ i el radi és: $$d(a,C)=d \Big(-\sqrt{5},1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Big)=\Big|1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}\Big|=1+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$

  2. L'extrem inferior és: $a=C-r=-\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{4}{3},$ i l'extrem superior és: $b=C+r=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}.$

  1. $C=1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ i $r=1+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
  2. $a=-\dfrac{4}{3}$ i $b=\dfrac{2}{3}.$
Tornar al tema