Intervals en nombres reals

Intervals fitats

Anomenarem interval al conjunt de nombres compresos entre dos límits donats.

Si $a$ i $b$ són dos nombres reals tals que $a\leq b$, l'interval d'extrems $a$ i $b$ és el segment $\overline{ab}$, o també el conjunt de nombres compresos entre $a$ i $b$.

Si considerem que els extrems $a$ i $b$ pertanyen a l'interval, direm que és un interval tancat i el denotarem per $[a,b]$.

Si $x$ és un nombre real que pertany a $[a,b]$, el punt que representa sobre la recta queda a la dreta de $a$ i a l'esquerra de $b$; això vol dir que $a < x < b$, i com que $a$ i $b$ també són de l'interval, pot ser que $x=a$ o $x=b$, de manera que un nombre real $x$ pertany a l'interval tancat $[a,b]$ si $a \leq x \leq b$. Aquesta definició algebraica l'escriurem $$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$$

Si els extrems no pertanyen a l'interval, l'anomenem interval obert i el denotarem per $(a,b)$. Si $x$ és un nombre real que pertany a $(a,b)$, és necessàriament $a < x < b$, i ho escrivim en llenguatge algebraic com $$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$$

Si només un dels extrems pertany a l'interval diem que és un interval semiobert i el denotarem per $(a,b]$ o bé $[a,b)$, depenent de quin extrem pertanyi a l'interval:

$$(a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a < x \leq b\}$$ $$[a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$$

En qualsevol tipus d'interval, $a$ és l'extrem inferior, i $b$ l'extrem superior. I $|b-a|$ és la longitud de l'interval.

Anomenarem centre de l'interval a un punt $c$ que es troba a mateixa distància de $a$ que de $b$. A la distància entre el centre de l'interval i els extrems es denomina radi.

El centre d'un interval d'extrems $a$ i $b$ és el punt $\dfrac{a+b}{2}$; en efecte:

$$d\Big(a,\dfrac{a+b}{2}\Big)=\Big|\dfrac{a+b}{2}-a\Big|=\Big|\dfrac{a+b-2a}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$

$$d\Big(\dfrac{a+b}{2},b\Big)=\Big|b-\dfrac{a+b}{2}\Big|=\Big|\dfrac{2b-a-b}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$

D'altra banda, els punts d'un interval d'extrems $a$ i $b$ es poden definir en termes de la distància al centre de l'interval.

Si $x\in [a,b]$, la distància de $x$ al centre és menor o igual al radi de l'interval, i com que $d(x,C)=|C-x|$, tenim: $$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x|\leq r \}$$ on $r$ representa el radi de l'interval $(r=d(a,b))$, i anàlogament per intervals oberts: $$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x| < r \}$$

Per determinar els extrems d'un interval donats el centre i el radi, apliquem les propietats del valor absolut:

$$|C-x| < r \Rightarrow |x-C| < r \Rightarrow$$ $$-r < x-C < r \Rightarrow -r+C < x < r+C$$

Per tant els extrems d'un interval de centre $C$ i radi $r$ són $C-r$ i $C+r$.

La longitud d'un interval és igual a la distància entre els seus dos extrems: $$long([a,b])=d(a,b)$$ I en dependre dels extrems, la longitud és la mateixa si l'interval és obert o tancat: $$long((a,b))=long([a,b])=long((a,b])=long([a,b))$$

Observem que la longitud d'un interval depèn de la distància utilitzada a calcular-la, així que, seguint amb la notació anterior, si s'utilitza una distància p-àdica per calcular la longitud d'un interval, el denotarem per: $$long_p((a,b))=d_p(a,b)$$

L'interval $\Big[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5}\Big]$ és un interval tancat acotat amb extrem inferior $\dfrac{1}{3}$ i superior $\dfrac{2}{5}$.

El centre de l'interval és un punt $C$: $$C=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}}{2}=\dfrac{5+6}{15\cdot 2}=\dfrac{11}{30}.$$

I el radi és: $$d(a,C)=\Big|\dfrac{11}{30}-\dfrac{1}{3}\Big|=\Big|\dfrac{11}{30}-\dfrac{10}{30}\Big|=\dfrac{1}{30}.$$

La longitud d'aquest interval és: $$long\Big(\Big[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5}\Big]\Big)=d\Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5}\Big)=\Big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}\Big|=\Big|\dfrac{5-6}{15}\Big|=\dfrac{1}{15}$$

Intervals no fitats

Si considerem un interval que no tingui extrem inferior o bé, extrem superior, obtenim un conjunt de la forma: $$\{x\in \mathbb{R} \ | \ x \leq b\}, \ \mbox{o} \ \{x\in \mathbb{R} \ | \ a \leq x\} $$

Gràficament, aquests conjunts es representa com tots aquells que es troben a l'esquerra de $b$, o a la dreta de $a$, respectivament.

A aquests conjunts els anomenem intervals no fitats i per denotar-los utilitzem el símbol infinit $\infty$ com extrem. Encara que $\infty$ no és un nombre, utilitzarem $-\infty$ per denotar que és menor que qualsevol nombre i $+\infty$ per denotar que és més gran que qualsevol nombre, de tal manera que un interval no fitat inferiorment es denota per:

$$(-\infty,a)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x < a\}$$

si és obert, i si és tancat:

$$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x \leq a\}$$

Si l'interval no té extrem superior, l'anomenem no fitat superiorment, i s'escriu:

$$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a < x\}$$

si és obert, i

$$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a \leq x\}$$

si és tancat.

$$[5, +\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 5 \leq x\}$$

$$\Big(-\infty,\dfrac{\sqrt{2}}{3}\Big)=\Big\{ x \in \mathbb{R} \ \Big| \ \dfrac{\sqrt{2}}{3} < a \Big\}$$