Intervalos en los números reales

Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

  1. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ pertenece al intervalo $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$
  2. $\sqrt{2}$ pertenece al intervalo $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ pertenece al intervalo $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$

  1. Como que $\sqrt{2} < \sqrt{5} < \sqrt{7}$, tenemos que $\dfrac{1}{\sqrt{5}} \in \Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$

  2. $\sqrt{2} > \dfrac{1}{\sqrt{7}}$, y por lo tanto, $\sqrt{2} \notin \Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$

  3. El intervalo $\Big[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big]$ es cerrado y acotado, por lo que los extremos pertenecen a él.

  1. Cierto.
  2. Falso.
  3. Cierto.

Calcula:

  1. El centro y el radio del intervalo $[-\sqrt{5},2].$
  2. Los extremos del intervalo de centro $-\dfrac{1}{3}$ y radio $1$.

  1. El centro de un intervalo es $$C=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2-\sqrt{5}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ y el radio es: $$d(a,C)=d \Big(-\sqrt{5},1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Big)=\Big|1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}\Big|=1+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$

  2. El extremo inferior es: $a=C-r=-\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{4}{3},$ y el extremo superior es: $b=C+r=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}.$

  1. $C=1-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ y $r=1+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
  2. $a=-\dfrac{4}{3}$ y $b=\dfrac{2}{3}.$
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