- Inicio
- Derivació
- Recta normal a una corba en un punt
- Ejercicios
Recta normal a una corba en un punt
a) Definiu dues funcions $f(x)$ i $g(x)$, la primera una paràbola (equació de segon grau) i la segona una recta.
b) Trobeu la recta $r(x)$, tangent a $f(x)$ i normal a $g(x)$.
a) Es defineixen $f(x)=x^2+4x-3$ i $g(x)=-2x+5$.
b) Es busca en primer lloc el pendent de $r(x)$.
Pendent de $g(x): \ g'(x)=-2$
$r(x)$ normal a $g(x) \rightarrow r'(x)=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$
Es busca el punt de $f(x)$ amb derivada de valor $\dfrac{1}{2}$, és a dir, el punt de tangència: $$f'(a)=2a+4=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=-\dfrac{7}{4}$$ $$f\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)=\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)^2+4\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)-3=-\dfrac{111}{16}$$
El punt de tangència serà $(a,f(a))=\Big(-\dfrac{7}{4},-\dfrac{111}{16} \Big)$
S'escriu l'equació de la recta $r(x)$: $$y+\dfrac{111}{16}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big(x+\dfrac{7}{4}\Big)$$ $$r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$$
a) $f(x)=x^2+4x-3$, $g(x)=-2x+5$.
b) $r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$