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Recta normal a una curva en un punto
a) Definir dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, la primera una parábola (ecuación de segundo grado) y la segunda una recta.
b) Encontrar la recta $r(x)$, tangente a $f(x)$ y normal a $g(x)$.
a) Se definen $f(x)=x^2+4x-3$ y $g(x)=-2x+5$.
b) Se busca en primer lugar el pendiente de $r(x)$.
Pendiente de $g(x): \ g'(x)=-2$
$r(x)$ normal a $g(x) \rightarrow r'(x)=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$
Se busca el punto de $f(x)$ con derivada de valor $\dfrac{1}{2}$, es decir, el punto de tangencia: $$f'(a)=2a+4=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=-\dfrac{7}{4}$$ $$f\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)=\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)^2+4\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)-3=-\dfrac{111}{16}$$
El punto de tangencia será $(a,f(a))=\Big(-\dfrac{7}{4},-\dfrac{111}{16} \Big)$
Se escribe la ecuación de la recta $r(x)$: $$y+\dfrac{111}{16}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big(x+\dfrac{7}{4}\Big)$$ $$r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$$
a) $f(x)=x^2+4x-3$, $g(x)=-2x+5$.
b) $r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$