Recta normal a una corba en un punt

És la recta que, en el punt de tall amb la corba, és perpendicular a la corba en qüestió.

El següent exemple gràfic mostra la recta normal a la corba $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}+1$:

Dues funcions $f(x),g(x)$ seran normals en un punt si, en el punt de tall $a$, es compleix que $$f'(a)\cdot g'(a)=-1$$

La següent taula mostra diversos valors de pendents de rectes perpendiculars entre si:

$f'(a)$	$g'(a)$
$1$	$-1$
$2$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$
$-3$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle -\frac{8}{3}$

L'expressió general de la recta normal a $f(x)$ en el punt $a$ és: $$\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}\cdot (x-a)$$

Es resol l'exemple gràfic mostrat anteriorment, és a dir, trobar la recta normal a $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x-1}+1$ en el punt $a=2$:

a) Es troba el pendent de la corba en el punt de tall: $$\begin{array}{rcl} \displaystyle f'(x)& =& -\frac{1}{(x-1)^2} \\ f'(2)& = &-1\end{array}$$I el pendent de la recta és $$\displaystyle m=-\frac{1}{f'(2)}=1$$

b) Aquesta recta passarà per $$(a,f(a))=(2,2)$$

Finalment, l'equació de la recta normal és: $$\begin{array}{rcl}y-2 & = & 1\cdot (x-2) \\ y & = & x \end{array}$$ El que és consistent amb la gràfica mostrada.

Trobeu la recta tangent a la funció $y=\sqrt{x}$ en el punt $x=0$, així com la seva recta normal.

a) Es comença buscant la derivada de la funció i el seu valor en $x=0$.

Veient que no existeix, es calcula el límit acostant-se a $x = 0$ per la dreta: $$\displaystyle \begin{array}{l} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \lim_{x \to 0} y'(x)=\lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{x}}=\infty\end{array}$$

b) Com que la representació del tipus $y=a\cdot x+b$ no és útil per mostrar una variació infinita, cal identificar que la recta normal a $y=\sqrt{x}$ coincideix amb l'eix $y$, és a dir, amb $x=0$.

c) Finalment, cal observar que la recta perpendicular a l'eix $y$ és l'eix $x$, és a dir, $y=0$.