Derivada de funcions exponencial, logarítmica i del tipus a elevat a x

a) Identifico les dues funcions que es sumen: $2x^3\tan(x)$ i $\cos(x)e^x$

Regla de la suma: he de sumar la derivada d'aquestes dues funcions.

Regla del producte: per calcular la derivada de les dues funcions utilitzo la regla del producte.

Derivem per passos:

$$2x^3\tan(x) \Rightarrow 6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$

$$\cos(x)e^x \Rightarrow -\sin(x)e^x+\cos(x)e^x=e^x(\cos(x)-\sin(x))$$

Per tant,

$$f'(x)=6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}+e^x(\cos(x)-\sin(x))$$

b) Hem de derivar els dos sumands i després sumar

$$e^x\ln(x) \Rightarrow e^x\ln(x)+e^x\dfrac{1}{x}$$

$$(5x^2-x^3)\cos(x) \Rightarrow (10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)(-sin(x))$$

Per tant,

$$f'(x)=e^x(\ln(x)+\dfrac{1}{x})-(10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)\sin(x)$$

c) Hem d'obtenir $x^3$ com a producte de dues funcions: $f(x)=g(x) h(x)$

Identifico $g(x)=x$ i $h(x)=x^2$

Utilitzant la regla del producte: $$f(x)=x\cdot x^2 \Rightarrow f'(x)=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$$