Derivada de funcions exponencial, logarítmica i del tipus a elevat a x
Funció exponencial
$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$$
La derivada de la funció exponencial és ella mateixa.
Funció logarítmica
$$f(x)=\ln x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}$$
$$f(x)=\log_{b} x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln b}$$
Funcions del tipus $a^x, \ a>0$
$$f(x)=a^x \ (a>0) \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a$$
En aquest cas requerim que $a$ sigui una constant positiva, ja que sinó la funció $f (x)$ no seria derivable.
Vegem exemples que incloguin aquests i altres tipus de funcions.
La funció:$$f(x)=\sin x + e^x -x^3$$
Té per derivada:$$f'(x)=\cos x +e^x - 3x^2$$
La funció:$$f(x)=3^x-\cos x+ \ln x$$
Té per derivada:$$f'(x)=3^x\ln 3-(-\sin x)+\frac{1}{x}=3^x\ln 3+\sin x +\frac{1}{x}$$
La funció: $$f(x)=\log_{10}x +5x^3+3$$
Té per derivada:$$f'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln 10}+15x^2$$