Derivada de funciones exponencial, logarítmica y del tipo a elevado a x

a) Identifico las dos funciones que se suman: $2x^3\tan(x)$ y $\cos(x)e^x$

Regla de la suma: debo sumar la derivada de estas dos funciones.

Regla del producto: para calcular la derivada de las dos funciones utilizo la regla del producto.

Derivemos por pasos:

$$2x^3\tan(x) \Rightarrow 6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$

$$\cos(x)e^x \Rightarrow -\sin(x)e^x+\cos(x)e^x=e^x(\cos(x)-\sin(x))$$

Por lo tanto,

$$f'(x)=6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}+e^x(\cos(x)-\sin(x))$$

b) Debemos derivar los dos sumandos y luego sumar

$$e^x\ln(x) \Rightarrow e^x\ln(x)+e^x\dfrac{1}{x}$$

$$(5x^2-x^3)\cos(x) \Rightarrow (10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)(-sin(x))$$

Por lo tanto,

$$f'(x)=e^x(\ln(x)+\dfrac{1}{x})-(10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)\sin(x)$$

c) Debemos obtener $x^3$ como producto de dos funciones: $f(x)=g(x) h(x)$

Identifico $g(x)=x$ y $h(x)=x^2$

Utilizamos la regla del producto: $$f(x)=x\cdot x^2 \Rightarrow f'(x)=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$$