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Derivada de funciones exponencial, logarítmica y del tipo a elevado a x
Función exponencial
$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$$
La derivada de la función exponencial es ella misma.
Función logarítmica
$$f(x)=\ln x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}$$
$$f(x)=\log_{b} x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln b}$$
Funciones tipo $a^x, \ a>0$
$$f(x)=a^x \ (a>0) \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a$$
En este caso requerimos que $a$ sea una constante positiva, puesto que sino la función $f (x)$ no sería derivable.
Veamos ejemplos que uncluyan estos y otros tipo de funciones.
La función:$$f(x)=\sin x + e^x -x^3$$
Tiene por derivada:$$f'(x)=\cos x +e^x - 3x^2$$
La función:$$f(x)=3^x-\cos x+ \ln x$$
Tiene por derivada:$$f'(x)=3^x\ln 3-(-\sin x)+\frac{1}{x}=3^x\ln 3+\sin x +\frac{1}{x}$$
La función: $$f(x)=\log_{10}x +5x^3+3$$
Tiene por derivada:$$f'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln 10}+15x^2$$