Teorema del valor mitjà (Propietat de Darboux)
Digues si les següents equacions tenen alguna solució utilitzant la propietat de Darboux.
a) $x^2=1$
b) $e^x=\ln x+3$
c) $x^4+2x=0$
a) Definim la funció $f(x)=x^2$.
Prenent l'interval $[0,2]$ es compleix que $1$ pertany a l'interval imatge $f([0,2])=[0,4]$, pel que existeix un punt $c$ on $f (c) = 1$ i per tant resol la nostra equació. (En el nostre cas $c=1$).
b) Definim la funció $f(x)=e^x-\ln x$.
Prenent l'interval $[1,2]$ es compleix que $3$ pertany a l'interval imatge $f([1,2])=[2.7182\ldots,6.69\ldots]$ per la qual cosa hi ha un punt $c$ on $f (c) = 3$ i d'aquesta manera sabem amb certesa que hi ha algun valor solució de la nostra equació.
c) Definim la funció $f(x)=x^4+2x$ i repetim el procés:
Prenent l'interval $[-1,1]$ es compleix que $0$ pertany a l'interval imatge $f([-1,1])=[-1,3]$, de manera que en l'interval $[-1,1]$ hi ha un punt que és solució de la nostra equació.
a) Té almenys una solució en l'interval $[0,2]$.
b) Té almenys una solució en l'interval $[1,2]$.
c) Té almenys una solució en l'interval $[-1,1]$.