Teorema del valor intermedio (Propiedad de Darboux)
Decir si las siguientes ecuaciones tienen alguna solución usando la propiedad Darboux.
a) $x^2=1$
b) $e^x=\ln x+3$
c) $x^4+2x=0$
a) Definimos la función $f(x)=x^2$.
Tomando el intervalo $[0,2]$ se cumple que $1$ pertenece al intervalo imagen $f([0,2])=[0,4]$, por lo que existe un punto $c$ donde $f (c) = 1$ y por lo tanto resuelve nuestra ecuación. (en nuestro caso $c=1$).
b) Definimos la función $f(x)=e^x-\ln x$.
Tomando el intervalo $[1,2]$ se cumple que $3$ pertenece al intervalo imagen $f([1,2])=[2.7182\ldots,6.69\ldots]$ por lo que existe un punto $c$ donde $f (c) = 3$ y de esta manera sabemos con certeza que existe algún valor solución de nuestra ecuación.
c) Definimos la función $f(x)=x^4+2x$ y repetimos el proceso:
Tomando el intervalo $[-1,1]$ se cumple que $0$ pertenece al intervalo imagen $f([-1,1])=[-1,3]$, por lo que en el intervalo $[-1,1]$ existe un punto que es solución de nuestra ecuación.
a) Tiene al menos una solución en el intervalo $[0,2]$.
b) Tiene al menos una solución en el intervalo $[1,2]$.
c) Tiene al menos una solución en el intervalo $[-1,1]$.