Teorema del valor mitjà (Propietat de Darboux)

Sigui una funció $f(x)$ contínua definida en un interval $[a,b]$ i $k$ un nombre comprès entre els valors $f(a)$ i $f(b)$ (és a dir $f(a) \leq k \leq f(b) $).

Llavors existeix algun valor $c$ en l'interval $[a,b]$ tal que $f(c)=k$.

Aquesta propietat és molt semblant al teorema de Bolzano. De fet es pot deduir molt fàcilment a partir d'aquest:

Prenent la funció $g(x)=f(x)-k$ es veu clarament que es complirà el teorema de Bolzano:

Com $f(a)\leq k \leq f(b) \Rightarrow f(a)-k \leq 0 \leq f(b)-k \Rightarrow g(a) \leq 0 \leq g(b)\Rightarrow $

$ \Rightarrow g(a) \cdot g(b) \leq 0$, llavors per Bolzano existeix un valor $c$ en l'interval $[a,b]$ tal que $g(c)=0$.

Però resulta que $0=g(c)=f(c)-k \Rightarrow f(c)=k$ i queda demostrada la propietat de Darboux.

Vegem alguns exemples d'aplicació:

Anem a buscar l'existència d'una solució de l'equació $(x-1)^3= 2$.

Definim la funció $f(x)=(x-1)^3$.

Hem de buscar un interval tal que en la seva imatge estigui el valor $2$.

Prenguem, per exemple, l'interval $[1,3]$.

L'interval imatge és $f([1,3])=[f(1),f(3)]=[0,8]$ i clarament el $2$ pertany a aquest.

Per tant, podem assegurar l'existència d'almenys una solució de l'equació $(x-1)^3=2$ en l'interval $[0,8]$.

Buscarem si hi ha solucions de l'equació $3=e^x+2x$.

Definim la funció $f(x)=e^x+2x$.

Hem de buscar un interval tal que la imatge d'aquest contingui el valor $3$.

Per exemple, anem a avaluar la funció en: $$\begin{array} {rcl} f(0) & = & 1 \\ f(1) & = & e+2 >3 \end{array}$$

A més, la funció exponencial és creixent i la funció $f (x) =2x$, també,i per tant la nostra funció és creixent i conseqüentment la imatge de $[0,1]$ conté el $3$.

Per tant, fent servir la propietat, podem assegurar que hi ha almenys una solució de la nostra equació en l'interval $[0,1]$.