- Inicio
- Continuïtat
- Continuïtat d'una funció en un punt
- Ejercicios
Continuïtat d'una funció en un punt
Estudia la continuïtat de la funció
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2+2 & \mbox{ si } & x<1 \\ 3x & \mbox{ si } & x \geq 1\end{array}\right.$$
Les funcions que defineixen $f(x)$ són contínues pel fet de ser polinòmiques, de manera que només podem tenir no continuïtat si no connecten bé en el punt $x=1$.
$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1} (x^2+2)= 1^2+2=3 \\ \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} (3x)= 3 \\ f(1)=3\cdot1=3 \end{array}$$
i com que coincideixen els límits laterals amb el valor de la funció, la funció és contínua.
La funció és contínua en $x=1$ i en tot $\mathbb{R}$.
Estudia la continuïtat de la funció
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x-3 & \mbox{ si } & x\neq3 \\ 0 & \mbox{ si } & x=3 \end{array}\right.$$
Les funcions que defineixen $f(x)$ són contínues pel fet de ser polinòmiques, de manera que només podem tenir no continuïtat si les dues funcions no connecten bé en $x=3$.
$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 3^-}f(x)=\lim_{x \to 3} (x-3)= 0 \\ \lim_{x \to 3^+}f(x)=\lim_{x \to 3} (x-3)= 0 \\ f(3)=0 \end{array}$$ i com que coincideixen els límits laterals amb el valor de la funció, la funció és contínua.
La funció és contínua en $x=3$ i en tot $\mathbb{R}$.