Continuidad de una función en un punto
Estudia la continuidad de la función
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2+2 & \mbox{ si } & x<1 \\ 3x & \mbox{ si } & x \geq 1\end{array}\right.$$
Las funciones que definen $f(x)$ son continuas por ser polinómicas, por lo que solo podemos tener no continuidad si las dos funciones no conectan bien en el punto $x=1$.
$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1} (x^2+2)= 1^2+2=3 \\ \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} (3x)= 3 \\ f(1)=3\cdot1=3 \end{array}$$ y como coinciden los límites laterales con el valor de la función, la función es continua.
La función es continua en $x=1$ y en todo $\mathbb{R}$.
Estudia la continuidad de la función
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x-3 & \mbox{ si } & x\neq3 \\ 0 & \mbox{ si } & x=3 \end{array}\right.$$
Las funciones que definen $f(x)$ son continuas por ser polinómicas, por lo que solo podemos tener no continuidad si las dos funciones no conectan bien en $x=3$.
$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 3^-}f(x)=\lim_{x \to 3} (x-3)= 0 \\ \lim_{x \to 3^+}f(x)=\lim_{x \to 3} (x-3)= 0 \\ f(3)=0 \end{array}$$ y como coinciden los límites laterales con el valor de la función, la función es continua.
La función es continua en $x=3$ y en todo $\mathbb{R}$.