Continuïtat d'una funció en un punt

De funcions n'hi ha de molts tipus i formes: funcions periòdiques, definides a trossos, creixents, decreixents, còncaves, convexes,... però entre totes elles, les podem classificar en dos conjunts més elementals: funcions contínues i funcions no contínues.

Vulgarment es diu que una funció és contínua si és possible dibuixar sense tenir necessitat d'aixecar el llapis del paper i per tant, dibuixar amb un sol traçat.

Matemàticament la definició és una mica més elaborada.

Considerem una funció $f(x)$. Direm que es continua en el punt $x=a$ si es compleix que els límits laterals de $f(x)$ a $x=a$ coincideixen amb el valor de la funció en $x=a$: $$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)= f(a)$$ En la següent gràfica observem una funció contínua.

i podem veure que els límits laterals coincidiran amb el valor de la funció en el punt $x1$, $f (x1) = y1$.

Vegem alguns exemples:

Prenem la funció $f(x) = e^{-x^2}$ i mirem la continuïtat de la funció en el punt $x=0$: $$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+} e^{-x^2}= e^0= 1 \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-} e^{-x^2}= e^0= 1\end{array}$$ i com que els límits coincideixen amb el valor de la funció en el zero: $f(0)=e^0=1$, aleshores la funció és contínua en el zero.

Per veure un exemple de funció no contínua en un punt, prenguem la funció $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x \neq 2 \\ 0 & \mbox{ si } & x = 2\end{array}\right.$ , i mirem la continuïtat en $x$=2. Llavors observem que: $$\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{x \to 2^+}f(x) = \lim_{x \to 2^+} x =2 \\ \lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^-}x=2 \end{array} $$ i si avaluem la funció en $x=2$ tenim que $f(2)=0$, de manera que la funció no és contínua en el punt $x=2$.