Equació de l'el·lipse amb focus sobre l'eix OX

Atès que els focus estan en l'eix $OX$ hem d'emprar l'Equació I de l'el·lipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

Ens falta doncs, determinar el valor dels semieixos $a$ i $b$, que són el semieix major i el semieix menor respectivament.

L'enunciat ens diu que l'el·lipse passa pel punt $(3,0)$ pel que ens està determinant quin és el moment en què l'el·lipse talla amb l'eix de les $x$ ja que el valor de la $y$ en aquest punt és nul.

Així doncs, en realitat ens està dient que distància hi ha del centre de l'el·lipse al punt de tall entre aquesta i l'eix $OX$, el que hem definit com semieix major.

Per tant, el valor del semieix major és $3$. És a dir, $a=3$.

Com també sabem la distància $c$ del centre al focus (que és $2$), mitjançant la relació $a^2=b^2+c^2$ aïllem $b$ i trobem que: $$b=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$$ Un cop coneixem tots els paràmetres de l'el·lipse, escrivim la seva equació: $$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{5})^2}=1$$ $$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$$

Si volem a més calcular la seva excentricitat només falta dividir $c$ entre $a$. Això és: $$e=\dfrac{2}{3}$$

Si l'eix menor mesura $4$, tenim que la distància $b$ que és el semieix és $2b=4 \Rightarrow b=\dfrac{4}{2}=2$. Substituint en l'equació de l'el·lipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ la $b$ pel $2$ s'obté que $a$ és: $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \text{ i passa pel punt } (x,y)=(2,1)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{1^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{4}=1 \Rightarrow a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$ Així l'equació queda: $$\dfrac{x^2}{\Big(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Big)^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{3x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$$