Equació de l'el·lipse amb focus sobre l'eix OX

A partir de la definició d'el·lipse arribarem a la seva expressió analítica. L'el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la suma de les distàncies a dos punts interiors fixos anomenats focus.

Suposarem que en aquest cas els focus $F$ i $F'$ es sobre l'eix $OX$, de manera que vénen definits per $F'=(-c,0)$ i $F=(c,0)$ i per tant l'el·lipse està centrada en l'origen.

Així, per la definició d' el·lipse escriurem que qualsevol punt $P$ de l'el·lipse compleix: $$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$ on $a$ correspon a una constant que podem determinar com: $a^2=b^2+c^2$.

Vegem-ho en el següent dibuix:

Desenvolupem ara $$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$ que equival a l'expressió: $$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$ Així doncs primer passem la segona arrel a l'altre costat de la igualtat: $$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$

Elevem banda i banda al quadrat: $$\Big( \sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big)^2=\Big( 2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2} \Big)^2$$ $$ (x-c)^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a \cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2$$ $$x^2-2\cdot x \cdot c+c^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a\cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2xc+c^2+y^2$$

Ara aïllem en un costat de l'equació l'arrel que ens queda, tenim: $$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2 +4xc$$ $$\displaystyle a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\frac{4a^2+4xc}{4}=a^2+cx$$

Elevem al quadrat els dos costats de la igualtat: $$\Big(a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\Big)^2=(a^2+cx)^2 $$ $$ a^2((x+c)^2+y^2)= a^4+2a^2cx+c^2x^2$$ $$a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)=a^4+2a^2cx+c^2x^2 $$ $$ a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4+2a^2cx+c^2x^2$$

Recordant que hi ha la relació $a^2=b^2+c^2$, tenim: $$(a^2-c^2)x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4$$ $$b^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2=a^2(a^2-c^2)=a^2b^2 $$

Ara dividim els dos costats de l'expressió pel factor $a^2b^2$ i resulta: $$\displaystyle \frac{b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2} $$ $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ Aquesta última expressió és l'equació de l'el·lipse que volíem trobar.

Si ens donen l'expressió $$\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$$ Això correspon a una el·lipse centrada en l'origen de la qual calculem els semieixos de la següent manera: $$a^2=25 \Rightarrow a=\sqrt{25}=5$$ $$b^2=4 \Rightarrow b=\sqrt{4}=2$$

Quan valen els semieixos de l'el·lipse $\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{8}=1$?

Igualant els denominadors als quadrats d'aquestes longituds obtenim: $$a=\sqrt{3} \\ b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Ara anem a treballar una mica amb aquesta equació.

Anem a trobar els elements característics i l'equació reduïda de l'el·lipse de focus: $F' (-3,0)$ i $F (3, 0)$, i tal que el seu eix major mesura $10$.

Atès que l'eix major mesura $10$ sabem que el semieix major serà la meitat.

Així obtenim: $2a=10 \Rightarrow a=5$.

Com que sabem que els focus són els punts $F' (-3,0)$ i $F (3, 0)$, la distància entre ells és $6$.

Per tant: $2c=6 \Rightarrow c=3$.

Atès que coneixem la relació $a^2=b^2+c^2$, aïllant la $b$ d'aquesta equació obtenim: $$b^2=5^2-3^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$$

Ara, doncs, atès que ja coneixem els semieixos major i menor, agafem l'equació de l'el·lipse i li substituïm els valors, obtenint així l'equació d'aquesta el·lipse. $$\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$$ Finalment, podem calcular l'excentricitat que és $$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$$