Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OX

Dado que los focos están en el eje $OX$ debemos emplear la Ecuación I de la elipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

Nos falta pues, determinar el valor de los semiejes $a$ y $b$, que son el semieje mayor y el semieje menor respectivamente.

El enunciado nos dice que la elipse pasa por el punto $(3,0)$ por lo que nos está determinando cual es el momento en que la elipse corta con el eje de las $x$ ya que el valor de la $y$ en ese punto es nulo.

Así pues, en realidad nos está diciendo qué distancia hay del centro de la elipse al punto de corte entre ésta y el eje $OX$, lo que hemos definido como semieje mayor.

Por lo tanto, el valor del semieje mayor es $3$. Es decir, $a=3$.

Como también sabemos la distancia $c$ del centro al foco (que es $2$), mediante la relación $a^2=b^2+c^2$ aislamos $b$ y encontramos que: $$b=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$$ Una vez conocemos todos los parámetros de la elipse, escribimos su ecuación: $$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{5})^2}=1$$ $$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$$

Si queremos además calcular su excentricidad solo falta dividir $c$ entre $a$. Esto es: $$e=\dfrac{2}{3}$$

Si el eje menor mide $4$, se tiene que la distancia $b$ que es el semieje es $2b=4 \Rightarrow b=\dfrac{4}{2}=2$. Sustituyendo en la ecuación de la elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ la $b$ por el $2$ se obtiene que $a$ es: $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \text{ y pasa por el punto } (x,y)=(2,1)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{1^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{4}=1 \Rightarrow a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$ Así se tiene que la ecuación queda: $$\dfrac{x^2}{\Big(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Big)^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{3x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$$