Parametrització de superfícies
Troba la parametrització de la superfície delimitada per la revolució de la paràbola $z=x^2$, per a $z$ entre $1$ i $3$.
Com que és un cos de revolució, podem usar l'últim exemple de superfícies, i d'aquesta manera, $$\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2)$$
Els intervals de definició seran $\theta\in[0,2\pi]$ i per a $x$, cal tenir en compte que $x=sqrt{z}$, pel que si $z\in[1,3], \ x\in[\sqrt{1},\sqrt{3}]=[1,\sqrt{3}]$.
Una altra forma de parametritzar el resultat seria prenent $z$ com a variable, llavors, $$\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$$
La parametrització buscada és $\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2), \ \ x\in[1,\sqrt{3}]$ o $\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$