Parametrització de superfícies

En el cas de que vulguem expressar una superfície en l'espai, necessitarem donar-la com una funció de dues variables: $\varphi: U=[a,b]\times[c,d]\subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow S \subset \mathbb{R}^{3}$, és a dir que per cada parell de coordenades (anomenem-les $u$, $v$) els correspon un únic punt de la superfície $S$, i viceversa.

La parametrització d'una esfera de radi $R$ és $$\begin{array}{ccc} {\varphi : \big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big] \times [0,2\pi]} & {\longrightarrow} & {\mathbb{R}^{3}} \\ {[ \theta, \alpha] }&{ \longrightarrow} & {R \cdot ( \cos \theta \cdot \cos \alpha , \cos \theta \cdot \sin \alpha , \sin \theta )} \end{array} $$

La parametrització d'un el·lipsoide de semieixos $a$, $b$ i $c$ és $$\begin{array} {ccc} {\gamma: \big[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big] \times [0,2\pi]} & {\longrightarrow} & {\mathbb {R} ^{3}} \\ {[\theta, \alpha]} & {\longrightarrow} & {R\cdot(a \cdot \cos \theta \cdot \cos \alpha, b \cdot \cos \theta \cdot \sin \alpha,c \cdot \sin \theta)} \end{array}$$

La parametrització de la gràfica d'una funció de dues variables $f(u,v)$ és $$\begin{array} {ccc}{ \gamma: [a,b]\times[c,d]} & {\longrightarrow} & {\mathbb {R} ^{3}} \\ {[u,v]} & {\longrightarrow} & {(u,v,f(u,v))} \end{array}$$

La parametrització de la superfície que resulta de fer girar la gràfica d'una funció $f(x)$ respecte de l'eix de les $z$ és $$\begin{array} {ccc} {\gamma: [a,b] \times [0,2\pi]} & {\longrightarrow} & {\mathbb {R} ^{3}} \\ {[x, \theta]} & {\longrightarrow} & {(x\cdot \cos \theta, x \cdot \sin \theta,f(x))} \end{array}$$