Parametrización de superficies
Encuentra la parametrización de la superficie delimitada por la revolución de la parábola $z=x^2$, para $z$ entre $1$ y $3$.
Como es un cuerpo de revolución, podemos usar el último ejemplo de superficies, de esta forma, $$\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2)$$
Los intervalos de definición serán $\theta\in[0,2\pi]$ y para $x$, hay que tener en cuenta que $x=sqrt{z}$, por lo que si $z\in[1,3], \ x\in[\sqrt{1},\sqrt{3}]=[1,\sqrt{3}]$.
Otra forma de parametrizar el resultado sería tomando $z$ como variable, entonces $$\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$$
La parametrización buscada es $\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2), \ \ x\in[1,\sqrt{3}]$ o $\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$